As coordenadas críticas do metano são:
\mathrm{Pc}=45,6 \mathrm{~atm}, \mathrm{Vc}=250 \mathrm{~cm}^{3} \cdot \mathrm{~mol}^{-1}, \mathrm{~T}_{\mathrm{c}}=190,6 \mathrm{~K}. Determine:
O fator de compressibilidade a 300 \mathrm{~K} .(\mathbf{0 , 5} pontos )
i. Determine a pressão do sistema utilizando o fator de compressibilidade a 300 \mathrm{~K} .(\mathbf{0 , 5} pontos)

Passo 1

Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
  • Coordenadas críticas do metano (dados do enunciado):
    \mathrm{P_c}=45{,}6\\ \mathrm{atm}
    \mathrm{V_c}=250\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}
    \mathrm{T_c}=190{,}6\\ \mathrm{K}
  • Condição do problema:
    Temperatura do sistema: \mathrm{T}=300\\ \mathrm{K}.
  • Pedidos:
    1. Determinar o fator de compressibilidade a \mathrm{300\\ K}.
    2. Determinar a pressão do sistema utilizando o fator de compressibilidade a \mathrm{300\\ K}.
Observação importante: o enunciado fornece as coordenadas críticas e a temperatura de interesse, e pede Z e a pressão. Para calcular Z a partir dos dados fornecidos precisamos de um modelo que relacione pressão, temperatura e volume molar. A única informação volumétrica explícita é \mathrm{V_c}; portanto, na resolução abaixo vou usar a equação de van der Waals (modelo clássico, simples e ensinável) obtendo seus parâmetros a e b a partir de \mathrm{P_c} e \mathrm{T_c} e então avaliar a pressão e o fator de compressibilidade para o volume molar \mathrm{V}=\mathrm{V_c} na temperatura \mathrm{T}=300\\ \mathrm{K}. Explico e aplico o método passo a passo.

Passo 2

Apresentando a equação de van der Waals e as relações com os pontos críticos (aula rápida).
  • A equação de van der Waals (vdW) para uma mole é:
P=\frac{R\,T}{V-b}-\frac{a}{V^{2}}
onde:
  • P é a pressão (em \mathrm{atm}),
  • T é a temperatura (em \mathrm{K}),
  • V é o volume molar (em \mathrm{L\cdot mol^{-1}}),
  • R é a constante universal dos gases,
  • a e b são constantes da equação, específicas da substância.
  • Relações entre as constantes vdW e as coordenadas críticas:
b=\frac{R\,T_c}{8\,P_c}, \qquad a=\frac{27\,R^{2}T_c^{2}}{64\,P_c}.
Essas fórmulas vêm do imposto de que no ponto crítico a isoterma tem ponto de inflexão (derivadas primeira e segunda nulas) — não precisamos repetir a dedução inteira aqui, só usar as relações.
  • O fator de compressibilidade é definido por
Z=\frac{P\,V}{R\,T}.
Podemos também obter Z diretamente a partir de vdW reescrevendo:
Z=\frac{V}{V-b}-\frac{a}{R\,T\,V}.
Vou usar estas fórmulas para calcular a, b, depois P e Z para \mathrm{T}=300\\ \mathrm{K} e \mathrm{V}=\mathrm{V_c}=250\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}.

Passo 3

Unidades e constantes numéricas. Conversões e valor de R.
  • Convertemos \mathrm{V_c} para litros por mol:
\mathrm{V}=\mathrm{V_c}=250\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}=0{,}250\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
  • Usaremos \mathrm{R}=0{,}082057\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}\cdot K^{-1}}.
  • Relembre os dados (em unidades consistentes):
    \mathrm{P_c}=45{,}6\\ \mathrm{atm}, \mathrm{T_c}=190{,}6\\ \mathrm{K}, \mathrm{T}=300\\ \mathrm{K}, \mathrm{V}=0{,}250\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.

Passo 4

Cálculo de b usando a relação crítica (mostrar contas).
b=\frac{R\,T_c}{8\,P_c}
Substituindo números:
b=\frac{0{,}082057\cdot 190{,}6}{8\cdot 45{,}6}
Calculemos numericamente passo a passo:
R\,T_c=0{,}082057\times 190{,}6=15{,}6400642\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}
8\,P_c=8\times 45{,}6=364{,}8\\ \mathrm{atm}
b=\frac{15{,}6400642}{364{,}8}=0{,}04288498\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
Arredondando razoavelmente:
b\approx 0{,}042885\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}} \quad\text{(ou }42{,}885\\ \mathrm{cm^{3}\cdot mol^{-1}}\text{)}.

Passo 5

Cálculo de a usando a relação crítica.
a=\frac{27\,R^{2}T_c^{2}}{64\,P_c}
Substituindo números:
a=\frac{27\cdot (0{,}082057)^{2}\cdot (190{,}6)^{2}}{64\cdot 45{,}6}
Fazendo os cálculos (passo a passo):
(0{,}082057)^{2}=0{,}00673435\quad(\text{aprox.})
(190{,}6)^{2}=36\,328{,}36
R^{2}T_c^{2}=0{,}00673435\times 36\,328{,}36\approx 244{,}771
27\times 244{,}771=6\,608{,}817
64\times 45{,}6=2\,918{,}4
a=\frac{6\,608{,}817}{2\,918{,}4}\approx 2{,}2646\\ \mathrm{L^{2}\cdot atm\cdot mol^{-2}}.
Arredondando:
a\approx 2{,}2646\\ \mathrm{L^{2}\cdot atm\cdot mol^{-2}}.

Passo 6

Aplicar a equação de van der Waals para calcular P em \mathrm{T}=300\\ \mathrm{K} e \mathrm{V}=0{,}250\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}.
A equação:
P=\frac{R\,T}{V-b}-\frac{a}{V^{2}}.
Calculemos cada termo:
  • Primeiro termo:
R\,T=0{,}082057\times 300=24{,}6171\\ \mathrm{L\cdot atm\cdot mol^{-1}}
V-b=0{,}250-0{,}04288498=0{,}20711502\\ \mathrm{L\cdot mol^{-1}}
\frac{R\,T}{V-b}=\frac{24{,}6171}{0{,}20711502}\approx 118{,}869\\ \mathrm{atm}
  • Segundo termo:
\frac{a}{V^{2}}=\frac{2{,}2646}{(0{,}250)^{2}}=\frac{2{,}2646}{0{,}0625}=36{,}2336\\ \mathrm{atm}
  • Portanto:
P=118{,}869-36{,}2336=82{,}6354\\ \mathrm{atm}.
Arredondando de forma prática:
P\approx 82{,}64\\ \mathrm{atm}.

Passo 7

Calcular o fator de compressibilidade Z a \mathrm{T}=300\\ \mathrm{K} usando P encontrado ou a fórmula direta.
Usando definição:
Z=\frac{P\,V}{R\,T}.
Substituindo:
Z=\frac{82{,}6354\times 0{,}250}{24{,}6171}.
Cálculo:
P\,V=82{,}6354\times 0{,}250=20{,}65885
Z=\frac{20{,}65885}{24{,}6171}\approx 0{,}8396.
Ou, usando a forma direta da vdW:
Z=\frac{V}{V-b}-\frac{a}{R\,T\,V},
o que dá o mesmo resultado (confirmei os termos numericamente).
Arredondando:
Z\approx 0{,}840.

Passo 8

Interpretação rápida e checagem (motivação e incentivo):
  • Obtivemos Z menor que 1 ( Z\approx 0{,}84), isso significa que, nessas condições (alta densidade relativa ao parâmetro b e temperatura moderada), o gás tem comportamento mais atraente que o ideal — as forças intermoleculares efetivas reduzem a pressão comparado ao ideal na mesma V e T.
  • Usei a equação de van der Waals porque é um modelo simples que relaciona \mathrm{P},\mathrm{V},\mathrm{T} e permite calcular a e b a partir de \mathrm{P_c} e \mathrm{T_c}. Em prova, essa é uma escolha segura quando pedem estimativas rápidas a partir das coordenadas críticas.

Resposta

Z\approx 0{,}840
P\approx 82{,}64\\ \mathrm{atm}

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