As coordenadas críticas do metano são:
. Determine:
O fator de compressibilidade a
pontos
i. Determine a pressão do sistema utilizando o fator de compressibilidade a
pontos)
O fator de compressibilidade a
i. Determine a pressão do sistema utilizando o fator de compressibilidade a
Passo 1
Dados fornecidos e o que o enunciado pede:
-
Coordenadas críticas do metano (dados do enunciado):
-
Condição do problema:
Temperatura do sistema:. -
Pedidos:
- Determinar o fator de compressibilidade a
. - Determinar a pressão do sistema utilizando o fator de compressibilidade a
.
- Determinar o fator de compressibilidade a
Observação importante: o enunciado fornece as coordenadas críticas e a temperatura de interesse, e pede
e a pressão. Para calcular
a partir dos dados fornecidos precisamos de um modelo que relacione pressão, temperatura e volume molar. A única informação volumétrica explícita é
; portanto, na resolução abaixo vou usar a equação de van der Waals (modelo clássico, simples e ensinável) obtendo seus parâmetros a e b a partir de
e
e então avaliar a pressão e o fator de compressibilidade para o volume molar
na temperatura
. Explico e aplico o método passo a passo.
Passo 2
Apresentando a equação de van der Waals e as relações com os pontos críticos (aula rápida).
- A equação de van der Waals (vdW) para uma mole é:
onde:
-
é a pressão (em ), -
é a temperatura (em ), -
é o volume molar (em ), -
é a constante universal dos gases, -
e são constantes da equação, específicas da substância. -
Relações entre as constantes vdW e as coordenadas críticas:
Essas fórmulas vêm do imposto de que no ponto crítico a isoterma tem ponto de inflexão (derivadas primeira e segunda nulas) — não precisamos repetir a dedução inteira aqui, só usar as relações.
- O fator de compressibilidade é definido por
Podemos também obter
diretamente a partir de vdW reescrevendo:
Vou usar estas fórmulas para calcular
,
, depois
e
para
e
.
Passo 3
Unidades e constantes numéricas. Conversões e valor de
.
- Convertemos
para litros por mol:
-
Usaremos
. -
Relembre os dados (em unidades consistentes):
, , , .
Passo 4
Cálculo de
usando a relação crítica (mostrar contas).
Substituindo números:
Calculemos numericamente passo a passo:
Arredondando razoavelmente:
Passo 5
Cálculo de
usando a relação crítica.
Substituindo números:
Fazendo os cálculos (passo a passo):
Arredondando:
Passo 6
Aplicar a equação de van der Waals para calcular
em
e
.
A equação:
Calculemos cada termo:
- Primeiro termo:
- Segundo termo:
- Portanto:
Arredondando de forma prática:
Passo 7
Calcular o fator de compressibilidade
a
usando
encontrado ou a fórmula direta.
Usando definição:
Substituindo:
Cálculo:
Ou, usando a forma direta da vdW:
o que dá o mesmo resultado (confirmei os termos numericamente).
Arredondando:
Passo 8
Interpretação rápida e checagem (motivação e incentivo):
- Obtivemos
menor que 1 ( ), isso significa que, nessas condições (alta densidade relativa ao parâmetro e temperatura moderada), o gás tem comportamento mais atraente que o ideal — as forças intermoleculares efetivas reduzem a pressão comparado ao ideal na mesma e . - Usei a equação de van der Waals porque é um modelo simples que relaciona
e permite calcular e a partir de e . Em prova, essa é uma escolha segura quando pedem estimativas rápidas a partir das coordenadas críticas.