Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por
. Determine o trabalho realizado para deslocar uma carga de
através deste campo de
para
,
Passo 1
O enunciado pede: determinar o trabalho realizado para deslocar uma carga de
no campo elétrico dado por
desde o ponto
até o ponto
.
Informações dadas, listadas explicitamente:
Informações dadas, listadas explicitamente:
A carga que se desloca é
Os pontos inicial e final estão dados em coordenadas cilíndricas:
(unidades implícitas do enunciado),
varia de
até
. O enunciado não especifica
; vamos observar se isso é necessário para resolver.
O que é pedido: o trabalho realizado pela força elétrica ao deslocar a carga do ponto inicial ao final.
O que é pedido: o trabalho
Passo 2
Escolha do método: o trabalho feito por um campo elétrico ao mover uma carga
ao longo de uma curva
é dado por
Vou usar esse método porque é a definição básica de trabalho elétrico e é apropriada quando temos
e um caminho entre dois pontos. Não foi exigido nenhum método específico no enunciado, então esse é o método mais direto.
Passo 3
Vamos parametrizar o caminho indicado. Os pontos são dados em coordenadas cilíndricas e ambos têm
e mudam
de
a
. Isso descreve um arco de círculo de raio
no plano com
constante. O enunciado não diz
, então considere um deslocamento no plano
constante (qualquer valor fixo de
); veremos que o resultado não depende desse
.
Em coordenadas cartesianas temos as relações:
Em coordenadas cartesianas temos as relações:
Para o nosso caminho
, logo
Os vetores unitários cilíndricos relacionam-se com
por
Passo 4
Expressar
ao longo do caminho: usando
,
e mantendo
como uma constante
(valor qualquer fixo),
Parametrização do deslocamento
ao variar
com
e
constante: em coordenadas cilíndricas
(Explicação curta: ao manter
constante e variar
, o deslocamento infinitesimal é tangente ao círculo e tem módulo
, na direção
.)
Passo 5
Calcular o produto escalar
. Primeiro, escrevo
em termos de
e uso as componentes de
:
Então
Como
, o termo com
some. Calculando os restantes:
Portanto
Passo 6
Agora aplico a fórmula do trabalho:
Isto mostra que o trabalho é zero e o resultado independe do valor de
; por isso a ausência de
no enunciado não impede a solução.
Passo 7
Interpretação física curta (útil para a prova): o campo
(vetor posição) é um campo conservativo: existe um potencial escalar
tal que
. Em qualquer deslocamento entre dois pontos com o mesmo potencial o trabalho realizado pelo campo é zero; aqui o arco entre
e
em
constante corresponde a um deslocamento tangencial onde
é sempre ortogonal ao deslocamento, daí o trabalho nulo.