Um campo elétrico, no espaço livre, é dado por \mathbf{E}=x \mathbf{a}_{x}+y \mathbf{a}_{y}+z \mathbf{a}_{z} \mathrm{~V} / \mathrm{m}. Determine o trabalho realizado para deslocar uma carga de 1 \mu \mathrm{C} através deste campo de (\rho=2, \varphi=0) para (\rho=2, \left.\varphi=90^{\circ}\right)

Passo 1

O enunciado pede: determinar o trabalho realizado para deslocar uma carga de 1\\ \mu\mathrm{C} no campo elétrico dado por \mathbf{E}=x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y+z\,\mathbf{a}_z\\ \mathrm{V}/\mathrm{m} desde o ponto (\rho=2,\\ \varphi=0) até o ponto (\rho=2,\\ \varphi=90^\circ).
Informações dadas, listadas explicitamente:
\mathbf{E}=x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y+z\,\mathbf{a}_z
A carga que se desloca é
q=1\\ \mu\mathrm{C}=1\times10^{-6}\\ \mathrm{C}.
Os pontos inicial e final estão dados em coordenadas cilíndricas: \rho=2 (unidades implícitas do enunciado), \varphi varia de 0 até 90^\circ. O enunciado não especifica z; vamos observar se isso é necessário para resolver.
O que é pedido: o trabalho W realizado pela força elétrica ao deslocar a carga do ponto inicial ao final.

Passo 2

Escolha do método: o trabalho feito por um campo elétrico ao mover uma carga q ao longo de uma curva C é dado por
W = q\int_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}.
Vou usar esse método porque é a definição básica de trabalho elétrico e é apropriada quando temos \mathbf{E} e um caminho entre dois pontos. Não foi exigido nenhum método específico no enunciado, então esse é o método mais direto.

Passo 3

Vamos parametrizar o caminho indicado. Os pontos são dados em coordenadas cilíndricas e ambos têm \rho=2 e mudam \varphi de 0 a 90^\circ. Isso descreve um arco de círculo de raio \rho=2 no plano com z constante. O enunciado não diz z, então considere um deslocamento no plano z= constante (qualquer valor fixo de z); veremos que o resultado não depende desse z.
Em coordenadas cartesianas temos as relações:
x=\rho\cos\varphi,\qquad y=\rho\sin\varphi.
Para o nosso caminho \rho=2, logo
x=2\cos\varphi,\qquad y=2\sin\varphi.
Os vetores unitários cilíndricos relacionam-se com \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y por
\mathbf{a}_\rho=\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+\sin\varphi\,\mathbf{a}_y,\qquad \mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y.

Passo 4

Expressar \mathbf{E} ao longo do caminho: usando x=2\cos\varphi, y=2\sin\varphi e mantendo z como uma constante z_0 (valor qualquer fixo),
\mathbf{E}=x\,\mathbf{a}_x+y\,\mathbf{a}_y+z_0\,\mathbf{a}_z =2\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+2\sin\varphi\,\mathbf{a}_y+z_0\,\mathbf{a}_z.
Parametrização do deslocamento d\mathbf{l} ao variar \varphi com \rho=2 e z constante: em coordenadas cilíndricas
d\mathbf{l}=\rho\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi = 2\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi.
(Explicação curta: ao manter \rho constante e variar \varphi, o deslocamento infinitesimal é tangente ao círculo e tem módulo \rho\,d\varphi, na direção \mathbf{a}_\varphi.)

Passo 5

Calcular o produto escalar \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}. Primeiro, escrevo \mathbf{a}_\varphi em termos de \mathbf{a}_x,\mathbf{a}_y e uso as componentes de \mathbf{E}:
\mathbf{a}_\varphi=-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y.
Então
\mathbf{E}\cdot\mathbf{a}_\varphi = \big(2\cos\varphi\,\mathbf{a}_x+2\sin\varphi\,\mathbf{a}_y+z_0\,\mathbf{a}_z\big)\cdot\big(-\sin\varphi\,\mathbf{a}_x+\cos\varphi\,\mathbf{a}_y\big).
Como \mathbf{a}_z\cdot\mathbf{a}_\varphi=0, o termo com z_0 some. Calculando os restantes:
\mathbf{E}\cdot\mathbf{a}_\varphi = 2\cos\varphi(-\sin\varphi)+2\sin\varphi(\cos\varphi) = -2\cos\varphi\sin\varphi + 2\sin\varphi\cos\varphi = 0.
Portanto
\mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = \mathbf{E}\cdot(2\,d\varphi\,\mathbf{a}_\varphi) = 2\,d\varphi\;(\mathbf{E}\cdot\mathbf{a}_\varphi)=2\,d\varphi\cdot 0 = 0.

Passo 6

Agora aplico a fórmula do trabalho:
W = q\int_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l} = q\int_{\varphi=0}^{\varphi=\pi/2} 0\\ d\varphi = q\cdot 0 = 0.
Isto mostra que o trabalho é zero e o resultado independe do valor de z_0; por isso a ausência de z no enunciado não impede a solução.

Passo 7

Interpretação física curta (útil para a prova): o campo \mathbf{E}=\mathbf{r} (vetor posição) é um campo conservativo: existe um potencial escalar \displaystyle V(\mathbf{r})=\tfrac{1}{2}r^2 tal que \mathbf{E}=\nabla V. Em qualquer deslocamento entre dois pontos com o mesmo potencial o trabalho realizado pelo campo é zero; aqui o arco entre \varphi=0 e \varphi=90^\circ em \rho= constante corresponde a um deslocamento tangencial onde \mathbf{E} é sempre ortogonal ao deslocamento, daí o trabalho nulo.

Resposta

0\\ \mathrm{J}

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