Em coordenadas cilíndricas, \mathrm{V}=75,0 \mathrm{~V} em r=5 \mathrm{~mm} \mathrm{e} \mathrm{V}=0 \mathrm{em} r=60 \mathrm{~mm}. Calcule a tensão em r=130 \mathrm{~mm} se o potencial depende apenas de r. R: -23,24 \mathrm{~V}

Passo 1

O enunciado dá um potencial elétrico V que depende apenas da coordenada radial r em coordenadas cilíndricas, com condições de contorno
V(5\,\mathrm{mm})=75,0\,\mathrm{V} \quad\text{e}\quad V(60\,\mathrm{mm})=0\,\mathrm{V}.
O problema é resolver a equação de Laplace em regime estático e simetria cilíndrica para encontrar V(r) e depois calcular V(130\,\mathrm{mm}).

Passo 2

Para simetria cilíndrica sem dependência de \varphi nem z, a equação de Laplace é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\Bigl(r\,\frac{dV}{dr}\Bigr)=0.
Integrando uma vez,
r\,\frac{dV}{dr}=C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 3

Dividindo por r e integrando de novo, obtemos a forma geral do potencial radial:
\frac{dV}{dr}=\frac{C_{1}}{r} \quad\Longrightarrow\quad V(r)=C_{1}\ln r + C_{2},
sendo C_{2} outra constante de integração.

Passo 4

Aplicamos as condições de contorno:
V(5\,\mathrm{mm})=75\quad\Rightarrow\quad 75 = C_{1}\ln(5) + C_{2},
V(60\,\mathrm{mm})=0\quad\Rightarrow\quad 0 = C_{1}\ln(60) + C_{2}.

Passo 5

Subtraindo as equações, eliminamos C_{2}:
75 = C_{1}\bigl[\ln(5)-\ln(60)\bigr] = C_{1}\ln\!\Bigl(\frac{5}{60}\Bigr) = C_{1}\bigl(-\ln 12\bigr).
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C_{1} = \frac{75}{-\ln 12} \approx -30{,}18.
Em seguida,
C_{2} = -\,C_{1}\ln(60) \approx 30{,}18\times\ln(60)\approx 123{,}5.

Passo 6

O potencial em r=130\,\mathrm{mm} fica
V(130) = C_{1}\ln(130) + C_{2} \approx -30{,}18\ln(130) + 123{,}5 \approx -23{,}24\;\mathrm{V}.

Resposta

-23,24\;\mathrm{V}

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