Dois cilindros condutores, circulares retos coaxiais, acham-se em r=5 \mathrm{~mm} e r=25 \mathrm{~mm} com tensões zero e \mathrm{V}_{\mathrm{o}}, respectivamente. Se \overrightarrow{\mathrm{E}}=-8,28 \times 10^{3} em r=15 \mathrm{~mm}, calcule \mathrm{V}_{\mathrm{o}} e a densidade de cargas do condutor externo. R: 200 \mathrm{~V} ;+440 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}.

Passo 1

O enunciado dá dois cilindros condutores coaxiais, com raios internos a=5\text{ mm} e externos b=25\text{ mm}. O potencial do cilindro interno é V(a)=0 e o do externo é V(b)=V_{0}. Sabemos que, em r=15\text{ mm}, o campo elétrico vale
\vec{E}=-8{,}28\times10^{3}\,\hat r\quad(\text{V/m}).
Vamos usar a lei de Gauss para um condutor cilíndrico e, em seguida, relacionar E(r) com a densidade de carga superficial no cilindro externo.

Passo 2

Pela simetria cilíndrica, para um comprimento unitário, o campo radial satisfaz
E(r)\;=\;\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,,
onde \lambda é a carga por unidade de comprimento no cilindro interno (e -\lambda no externo). Em r=0{,}015\,\text{m} temos
\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,(0{,}015)} \;=\;-8{,}28\times10^{3} \quad\Longrightarrow\quad \lambda=-8{,}28\times10^{3}\,\bigl(2\pi\varepsilon_{0}\times0{,}015\bigr).

Passo 3

Calculando numericamente,
2\pi\varepsilon_{0}\times0{,}015 =2\pi\times8{,}854\times10^{-12}\times0{,}015 \approx8{,}35\times10^{-13},
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\lambda \approx-8{,}28\times10^{3}\times8{,}35\times10^{-13} =-6{,}91\times10^{-9}\\ \text{C/m}.

Passo 4

O potencial do cilindro externo em relação ao interno é
V_{0}=V(b)-V(a) =-\int_{a}^{b}E(r)\,dr =-\int_{a}^{b}\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}\,r}\,dr =-\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_{0}}\ln\!\biggl(\frac{b}{a}\biggr).
Substituindo \lambda=-6{,}91\times10^{-9}\,\text{C/m}, a=5\,\text{mm} e b=25\,\text{mm},
V_{0} =-\frac{-6{,}91\times10^{-9}}{2\pi(8{,}854\times10^{-12})} \ln\!\biggl(\frac{25}{5}\biggr) \approx200\\ \text{V}.

Passo 5

A densidade de carga superficial no cilindro externo é
\sigma_{\text{ext}} =\frac{Q_{\text{ext}}}{\text{área}} =\frac{-\lambda}{2\pi\,b} =\frac{6{,}91\times10^{-9}}{2\pi\times0{,}025} \approx4{,}40\times10^{-7}\\ \text{C/m}^{2} =+440\\ \text{nC/m}^{2}.á

Resposta

V_{0}=200\\ \text{V} \sigma_{\text{ext}}=+440\\ \text{nC/m}^{2}

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