Em coordenadas esféricas, a região que está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e acima do plano z=0 pode ser descrita pelas variações
(A) 2 \leq \rho \leq 3,0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.
(B) 4 \leq \rho \leq 9, \quad 0 \leq \varphi \leq \pi e 0 \leq \theta \leq \pi.
(C) 2 \leq \rho^{\prime} \leq 3, \quad 0 \leq \varphi \leq \frac{\pi}{2} e 0 \leq \theta \leq \pi.
(D) 2 \leq \rho \leq 3, \frac{\pi}{2} \leq \varphi \leq \pi e 0 \leq \theta \leq 2 \pi.
(E) 2 \leq \rho \leq 3, \quad 0 \leq \varphi \leq \pi e 0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{2}.
(F) nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a região do espaço que está entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 e acima do plano z=0. As perguntas implícitas são:
  • Quais são as variações de \rho, \varphi e \theta em coordenadas esféricas que descrevem essa região?
  • Entre as opções (A)–(F), qual delas corresponde corretamente a essa região?
Informações relevantes do enunciado:
  • Estamos entre duas esferas concêntricas centradas na origem com raios 2 e 3, pois x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • A região é "acima do plano z=0", isto é, inclui pontos com z\ge 0.
  • Queremos descrever a região em coordenadas esféricas usando as variáveis \rho (distância à origem), \varphi (ângulo polar medido a partir do eixo z positivo) e \theta (ângulo azimutal no plano xy).

Passo 2

Relembrando o que são as coordenadas esféricas (explicação didática):
  • A coordenada \rho é a distância do ponto à origem. Em símbolos: \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}. Portanto superfícies do tipo x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2} correspondem a \rho=R.
  • O ângulo \varphi é o ângulo entre o vetor posição e o eixo z positivo. Vale 0\le \varphi\le \pi. Quando \varphi=0 o ponto está sobre o eixo z positivo; quando \varphi=\frac{\pi}{2} está no plano z=0; quando \varphi=\pi está sobre o eixo z negativo.
  • O ângulo \theta é o ângulo no plano xy, gira em torno do eixo z. Vale habitualmente 0\le \theta<2\pi para cobrir toda a volta.
Fórmulas de conversão úteis (para ver relação com z):
x=\rho\sin\varphi\cos\theta,\qquad y=\rho\sin\varphi\sin\theta,\qquad z=\rho\cos\varphi.
Aqui cada símbolo significa:
  • \rho: distância radial positiva,
  • \varphi: ângulo polar medido a partir de +z,
  • \theta: ângulo azimutal no plano xy.

Passo 3

Traduzir as esferas para coordenadas esféricas (passo por passo):
  • Da definição \rho=\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}}, a esfera x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 corresponde exatamente a \rho^{2}=4, ou seja \rho=2 (tomamos \rho\ge0).
  • De modo análogo, x^{2}+y^{2}+z^{2}=9 corresponde a \rho=3.
    Portanto "entre as esferas x^{2}+y^{2}+z^{2}=4 e x^{2}+y^{2}+z^{2}=9" vira a condição
2 \le \rho \le 3.

Passo 4

Traduzir a condição "acima do plano z=0" para coordenadas esféricas:
  • Usando z=\rho\cos\varphi. Como \rho>0 na região (pois \rho está entre 2 e 3), o sinal de z é o sinal de \cos\varphi.
  • "Acima do plano z=0" significa z\ge 0, logo \rho\cos\varphi \ge 0. Com \rho>0 isso reduz a \cos\varphi \ge 0.
  • A desigualdade \cos\varphi\ge 0 ocorre exatamente para \varphi no intervalo
0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2},
porque \cos\varphi é positivo do eixo +z até o plano equatorial (ângulo \pi/2).

Passo 5

Determinar a variação de \theta:
  • A região entre as esferas e acima de z=0 cobre toda a volta em torno do eixo z. Não há restrição azimutal no enunciado, logo \theta deve percorrer todo o círculo.
  • A convenção usual para cobrir todo o círculo é
0 \le \theta \le 2\pi.

Passo 6

Juntando tudo: as variações das coordenadas esféricas que descrevem exatamente a região dada são
2 \le \rho \le 3,\qquad 0 \le \varphi \le \frac{\pi}{2},\qquad 0 \le \theta \le 2\pi.
Agora comparar com as opções fornecidas: essa tripla de intervalos aparece na alternativa (A). As demais opções erram porque trocam \rho por 4 a 9 (opção (B) confunde x^{2}+y^{2}+z^{2} com \rho ao quadrado), ou limitam \theta desnecessariamente (opções (C) e (E)), ou escolhem \varphi que corresponde à metade inferior ( \frac{\pi}{2}\le\varphi\le\pi da opção (D)).

Resposta

(A)

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