Em coordenadas esféricas, a região que está entre as esferas
e
e acima do plano
pode ser descrita pelas variações
(A)
e
.
(B)
e
.
(C)
e
.
(D)
e
.
(E)
e
.
(F) nenhuma das anteriores.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F) nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a região do espaço que está entre as esferas
e
e acima do plano
. As perguntas implícitas são:
- Quais são as variações de
, e em coordenadas esféricas que descrevem essa região? - Entre as opções (A)–(F), qual delas corresponde corretamente a essa região?
Informações relevantes do enunciado:
- Estamos entre duas esferas concêntricas centradas na origem com raios
e , pois e . - A região é "acima do plano
", isto é, inclui pontos com . - Queremos descrever a região em coordenadas esféricas usando as variáveis
(distância à origem), (ângulo polar medido a partir do eixo positivo) e (ângulo azimutal no plano ).
Passo 2
Relembrando o que são as coordenadas esféricas (explicação didática):
- A coordenada
é a distância do ponto à origem. Em símbolos: . Portanto superfícies do tipo correspondem a . - O ângulo
é o ângulo entre o vetor posição e o eixo positivo. Vale . Quando o ponto está sobre o eixo positivo; quando está no plano ; quando está sobre o eixo negativo. - O ângulo
é o ângulo no plano , gira em torno do eixo . Vale habitualmente para cobrir toda a volta.
Fórmulas de conversão úteis (para ver relação com
):
Aqui cada símbolo significa:
-
: distância radial positiva, -
: ângulo polar medido a partir de , -
: ângulo azimutal no plano .
Passo 3
Traduzir as esferas para coordenadas esféricas (passo por passo):
- Da definição
, a esfera corresponde exatamente a , ou seja (tomamos ). - De modo análogo,
corresponde a .
Portanto "entre as esferase " vira a condição
Passo 4
Traduzir a condição "acima do plano
" para coordenadas esféricas:
- Usando
. Como na região (pois está entre e ), o sinal de é o sinal de . - "Acima do plano
" significa , logo . Com isso reduz a . - A desigualdade
ocorre exatamente para no intervalo
porque
é positivo do eixo
até o plano equatorial (ângulo
).
Passo 5
Determinar a variação de
:
- A região entre as esferas e acima de
cobre toda a volta em torno do eixo . Não há restrição azimutal no enunciado, logo deve percorrer todo o círculo. - A convenção usual para cobrir todo o círculo é
Passo 6
Juntando tudo: as variações das coordenadas esféricas que descrevem exatamente a região dada são
Agora comparar com as opções fornecidas: essa tripla de intervalos aparece na alternativa (A). As demais opções erram porque trocam
por
a
(opção (B) confunde
com
ao quadrado), ou limitam
desnecessariamente (opções (C) e (E)), ou escolhem
que corresponde à metade inferior (
da opção (D)).
Resposta
(A)