A região de
descrita pelas variações
também pode ser descrita por
(A)
e
.
(B)
e
.
(C)
e
.
(D)
e
.
(E)
e
.
(F) nenhuma das anteriores.
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(F) nenhuma das anteriores.
Passo 1
O enunciado dá a região de
definida pelas desigualdades
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(F) descreve a mesma região? Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que cada alternativa propõe:
- Dados do enunciado (peguei-os do enunciado):
- O que se pede: escolher entre as alternativas (A) a (F) aquela que descreve exatamente a mesma região.
Passo 2
Entendimento geométrico e estratégia (projeção): para comparar descrições é útil projetar a região sobre os planos coordenados. Primeiro vou ver, para um
fixo com
, quais valores de
são possíveis. Pelas desigualdades dadas:
Como
para todo
, o menor possível para
(dado que existe algum
) é
. E o maior possível é
. Logo, para cada
fixo em
tem-se pelo menos que
Isto mostra que qualquer descrição equivalente deve ter
variando entre
e
(para cada
) — já elimina alternativas que deixem
negativo ou com limite superior independente de
.
Passo 3
Detalhe sobre
: a desigualdade
implica
, ou seja
Mas atenção: também havia a restrição original
. Para que
e
sejam compatíveis, precisamos que
, ou seja
— e isso já foi garantido no passo anterior. Portanto, para qualquer
e
com
temos
e, consequentemente, todos os
com
também satisfazem
.
Passo 4
Prova de equivalência formal (duas inclusões):
- Se
satisfaz as desigualdades originais, então dá , e já vimos que e . Logo satisfaz
- Se
satisfaz
então
(pela última desigualdade) e
, logo
. Assim as desigualdades originais são satisfeitas. Portanto as duas descrições são equivalentes.
Passo 5
Comparação com as alternativas: a descrição equivalente que obtivemos é
Agora olho as alternativas:
- (E) é exatamente
. Coincide. - (B) tinha
(apenas ), o que exclui permitido originalmente, então está errada. - (A) tinha
sem dependência de , isto não corresponde (o teto de depende de em ). - (C) permitia
negativos (faixa ), mas na região original . Logo (C) está errada. - (D) tem as desigualdades invertidas e
negativo; absurdo.
Assim a única alternativa correta é (E).
Resposta
(E)