A região de \mathbb{R}^{3} descrita pelas variações
0 \leq z \leq 2, \quad-\sqrt{4-2 z} \leq x \leq \sqrt{4-2 z} \text { e } x^{2} \leq y \leq 4-2 z
também pode ser descrita por
(A) 0 \leq z \leq 2, \quad 0 \leq y \leq 4 e 0 \leq x \leq \sqrt{y}.
(B) 0 \leq z \leq 2, \quad 0 \leq y \leq 4-2 z e 0 \leq x \leq \sqrt{y}.
(C) 0 \leq z \leq 2, \quad 2 z-4 \leq y \leq 4-2 z e -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}.
(D) 0 \leq z \leq 2, \quad 4-2 z \leq y \leq 0 e -\sqrt{y} \leq x \leq 0.
(E) 0 \leq z \leq 2, \quad 0 \leq y \leq 4-2 z e -\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y}.
(F) nenhuma das anteriores.

Passo 1

O enunciado dá a região de \mathbb{R}^3 definida pelas desigualdades
0 \leq z \leq 2,\qquad -\sqrt{4-2z}\leq x\leq \sqrt{4-2z},\qquad x^{2}\leq y\leq 4-2z.
A pergunta é: qual das alternativas (A)–(F) descreve a mesma região? Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que cada alternativa propõe:
  • Dados do enunciado (peguei-os do enunciado): \,0\le z\le 2,\; -\sqrt{4-2z}\le x\le \sqrt{4-2z},\; x^2\le y\le 4-2z.
  • O que se pede: escolher entre as alternativas (A) a (F) aquela que descreve exatamente a mesma região.

Passo 2

Entendimento geométrico e estratégia (projeção): para comparar descrições é útil projetar a região sobre os planos coordenados. Primeiro vou ver, para um z fixo com 0\le z\le2, quais valores de y são possíveis. Pelas desigualdades dadas:
x^{2}\le y\le 4-2z.
Como x^{2}\ge 0 para todo x, o menor possível para y (dado que existe algum x) é 0. E o maior possível é 4-2z. Logo, para cada z fixo em [0,2] tem-se pelo menos que
0\le y\le 4-2z.
Isto mostra que qualquer descrição equivalente deve ter y variando entre 0 e 4-2z (para cada z) — já elimina alternativas que deixem y negativo ou com limite superior independente de z.

Passo 3

Detalhe sobre x: a desigualdade x^{2}\le y implica |x|\le\sqrt{y}, ou seja
-\sqrt{y}\le x\le \sqrt{y}.
Mas atenção: também havia a restrição original |x|\le \sqrt{4-2z}. Para que |x|\le\sqrt{y} e |x|\le\sqrt{4-2z} sejam compatíveis, precisamos que \sqrt{y}\le\sqrt{4-2z}, ou seja y\le 4-2z — e isso já foi garantido no passo anterior. Portanto, para qualquer z e y com 0\le y\le 4-2z temos \sqrt{y}\le\sqrt{4-2z} e, consequentemente, todos os x com |x|\le\sqrt{y} também satisfazem |x|\le\sqrt{4-2z}.

Passo 4

Prova de equivalência formal (duas inclusões):
  1. Se (x,y,z) satisfaz as desigualdades originais, então x^{2}\le y |x|\le\sqrt{y}, e já vimos que y\le 4-2z e y\ge 0. Logo (x,y,z) satisfaz
0\le z\le2,\qquad 0\le y\le 4-2z,\qquad -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}.
  1. Se (x,y,z) satisfaz
0\le z\le2,\qquad 0\le y\le 4-2z,\qquad -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y},
então x^{2}\le y (pela última desigualdade) e |x|\le\sqrt{y}\le\sqrt{4-2z}, logo -\sqrt{4-2z}\le x\le\sqrt{4-2z}. Assim as desigualdades originais são satisfeitas. Portanto as duas descrições são equivalentes.

Passo 5

Comparação com as alternativas: a descrição equivalente que obtivemos é
0\le z\le2,\qquad 0\le y\le 4-2z,\qquad -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}.
Agora olho as alternativas:
  • (E) é exatamente 0\le z\le2,\;0\le y\le 4-2z,\; -\sqrt{y}\le x\le\sqrt{y}. Coincide.
  • (B) tinha 0\le x\le\sqrt{y} (apenas x\ge0), o que exclui x<0 permitido originalmente, então está errada.
  • (A) tinha 0\le y\le4 sem dependência de z, isto não corresponde (o teto de y depende de z em 4-2z).
  • (C) permitia y negativos (faixa 2z-4\le y\le4-2z), mas na região original y\ge0. Logo (C) está errada.
  • (D) tem as desigualdades invertidas e y negativo; absurdo.
    Assim a única alternativa correta é (E).

Resposta

(E)

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