As coordenadas de um objeto em função do tempo é dada por
x=0,5 t^2+t e por y=-0,8 t^3-2. Qual é a velocidade do objeto no tempo de 2 segundos na forma módulo-ângulo?
A) 2,8 ms ; 280^circ
B) 10 ms ; 293^circ
C) 10 ms ; 287^circ
D) 9,3 ms ; 295^circ
E) Nenhuma das alternativas

Passo 1

Vamos resolver um problema onde temos as coordenadas $ x $ e $ y $ de um objeto em função do tempo $ t $. As equações são:
x
Queremos descobrir a velocidade do objeto aos 2 segundos, expressa em módulo (a rapidez) e ângulo (a direção). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação ao tempo $ t $, pois a derivada das coordenadas em relação ao tempo nos dá as componentes da velocidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $ para obter a componente horizontal da velocidade ($ v_x $):
x(t)
Agora substituímos $ t = 2 $ segundos:
t

Passo 3

Em seguida, calculamos a derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $ para obter a componente vertical da velocidade ($ v_y $):
y(t)
Substituindo $ t = 2 $ segundos:
t

Passo 4

Agora que temos as componentes da velocidade $ v_x = 3 , \frac{m}{s} $ e $ v_y = -9,6 , \frac{m}{s} $, podemos calcular o módulo da velocidade usando a fórmula do módulo do vetor:
vx = 3 , ms
Arredondando, temos aproximadamente $ 10 , \frac{m}{s} $.

Passo 5

Para achar o ângulo da velocidade, usamos a tangente do ângulo $ \theta $:
theta
Usando a função arco-tangente, encontramos:
tan(theta) = vyvx = -9,63 = -3,2
Como o vetor velocidade está no 4º quadrante (positivo em $ x $ e negativo em $ y $), ajustamos o ângulo para:
theta = arctan(-3,2) approx -72^circ

Resposta

A velocidade do objeto aos 2 segundos é aproximadamente $ 10 , \frac{m}{s} $ com direção de $ 288^{\circ} $. Portanto, a alternativa correta é:
C) 10 , ms

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