As coordenadas de um objeto em função do tempo é dada por
e por
. Qual é a velocidade do objeto no tempo de 2 segundos na forma módulo-ângulo?
A)
B)
C)
D)
E) Nenhuma das alternativas
A)
B)
C)
D)
E) Nenhuma das alternativas
Passo 1
Vamos resolver um problema onde temos as coordenadas $ x $ e $ y $ de um objeto em função do tempo $ t $. As equações são:
Queremos descobrir a velocidade do objeto aos 2 segundos, expressa em módulo (a rapidez) e ângulo (a direção). Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação ao tempo $ t $, pois a derivada das coordenadas em relação ao tempo nos dá as componentes da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de $ x(t) $ em relação a $ t $ para obter a componente horizontal da velocidade ($ v_x $):
Agora substituímos $ t = 2 $ segundos:
Passo 3
Em seguida, calculamos a derivada de $ y(t) $ em relação a $ t $ para obter a componente vertical da velocidade ($ v_y $):
Substituindo $ t = 2 $ segundos:
Passo 4
Agora que temos as componentes da velocidade $ v_x = 3 , \frac{m}{s} $ e $ v_y = -9,6 , \frac{m}{s} $, podemos calcular o módulo da velocidade usando a fórmula do módulo do vetor:
Arredondando, temos aproximadamente $ 10 , \frac{m}{s} $.
Passo 5
Para achar o ângulo da velocidade, usamos a tangente do ângulo $ \theta $:
Usando a função arco-tangente, encontramos:
Como o vetor velocidade está no 4º quadrante (positivo em $ x $ e negativo em $ y $), ajustamos o ângulo para:
Resposta
A velocidade do objeto aos 2 segundos é aproximadamente $ 10 , \frac{m}{s} $ com direção de $ 288^{\circ} $. Portanto, a alternativa correta é:
C)