Coordenadas polares Suponha que substituamos coordenadas polares x=r \cos \theta e y=r \operatorname{sen} \theta em uma função diferenciável w=f(x, y).
(a) Mostre que
Encontre as direções nas quais f(x, y)=\left(x^{2} / 2\right)+\left(y^{2} / 2\right)
(a) Cresce mais rapidamente no ponto (1,1);
(b) Decresce mais rapidamente em (1,1);
(c) Quais são as direções de variação zero de f \operatorname{em}(1,1) ?
Passo 1
O enunciado trata de usar a regra da cadeia para passar das derivadas parciais \partial w/\partial r e \partial w/\partial \theta de w(r,\theta)=f(x(r,\theta),y(r,\theta)) para as derivadas f_x e f_y, mostrar uma identidade de norma de gradiente em coordenadas polares e, em seguida, aplicar tudo isso a
f(x,y)=\frac{x^2}{2}+\frac{y^2}{2}
para encontrar as direções de máximo crescimento, máximo decrescimento e variação nula em (1,1). Vamos usar
Regra da cadeia para funções de duas variáveis.
Resolução de sistema linear 2\times2.
Definição de derivada direcional via produto escalar com o gradiente.
A derivada direcional na direção unitária \mathbf{u} vale \nabla f\cdot\mathbf{u}.
(a) Máximo crescimento: \mathbf{u}=\dfrac{\nabla f}{\|\nabla f\|} = \dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
(b) Máximo decrescimento: -da direção anterior, ou seja -\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,1).
(c) Variação zero quando \mathbf{u}\perp\nabla f, por exemplo \mathbf{u}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(1,-1) (e seu oposto).
Resposta
(a) A direção de máximo crescimento em (1,1) é
\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1).
(b) A direção de máximo decrescimento em (1,1) é
-\frac{1}{\sqrt{2}}\,(1,1).
(c) As direções de variação zero em (1,1) são quaisquer vetores perpendiculares a (1,1), por exemplo