Derivada direcional zero Em quais direções a derivada de f(x, y)=\left(x^{2}-y^{2}\right) /\left(x^{2}+y^{2}\right) em P(1,1) é igual a zero?
Existe uma direção u na qual a taxa de variação de f(x, y)= x^{2}-3 x y+4 y^{2} em P(1,2) é igual a 14 ? Justifique a sua resposta.
Passo 1
Estamos lidando com derivada direcional, que se obtém computando o gradiente de f e fazendo o produto escalar com uma direção unitária \mathbf u. No primeiro item, queremos as direções em que essa derivada é zero para
f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
em P(1,1).
No segundo item, verificamos se existe alguma direção unitária \mathbf u tal que a taxa de variação de
f(x,y)=x^{2}-3xy+4y^{2}
em P(1,2) seja igual a 14.
Passo 2
Calcular o gradiente de \displaystyle f(x,y)=\frac{x^{2}-y^{2}}{x^{2}+y^{2}}
usando regra do quociente:
Não existe direção unitária em que a taxa de variação de \displaystyle f(x,y)=x^{2}-3xy+4y^{2}
em P(1,2) seja 14, pois 14>\|\nabla f(1,2)\|=\sqrt{185}.