Resolva as integrais.
(a) \int_{0}^{1} \frac{d x}{2-x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1}\frac{dx}{2 - x}.
O conteúdo aqui é integração de uma função racional simples, que leva a um logaritmo natural. Vamos usar substituição para transformar o denominador em algo do tipo u, de modo a obter a forma \int du/u.

Passo 2

Definimos a substituição
u = 2 - x.
Então
du = -\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = -\,du.

Passo 3

Alteramos os limites de integração:
quando x=0, u = 2 - 0 = 2;
quando x=1, u = 2 - 1 = 1.
Substituindo na integral, temos
\int_{0}^{1}\frac{dx}{2 - x} = \int_{u=2}^{u=1}\frac{-\,du}{u} = -\int_{2}^{1}\frac{du}{u}.
Invertemos os limites para eliminar o sinal menos:
-\int_{2}^{1}\frac{du}{u} = \int_{1}^{2}\frac{du}{u}.

Passo 4

A integral \int_{1}^{2}\frac{du}{u} é o logaritmo natural avaliado de 1 a 2:
\int_{1}^{2}\frac{du}{u} = \Bigl[\ln(u)\Bigr]_{1}^{2} = \ln(2) - \ln(1).
Como \ln(1)=0, o resultado é \ln(2).

Resposta

\displaystyle \ln(2)

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