Resolva as integrais.
(b) \int 2 x e^{-2 x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado nos pede para calcular a integral indefinida \displaystyle \int 2x\,e^{-2x^{2}}\,dx.
Esse tipo de integral envolve uma função exponencial composta, e a técnica mais direta é a substituição.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = -2x^{2}.
Diferenciando,
du = -4x\,dx \quad\Longrightarrow\quad 2x\,dx = -\tfrac12\,du.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int 2x\,e^{-2x^{2}}\,dx = \int e^{u}\,\bigl(-\tfrac12\,du\bigr) = -\tfrac12 \int e^{u}\,du = -\tfrac12\,e^{u} + C.

Passo 4

Retornando à variável x, como u=-2x^{2}, temos
-\tfrac12\,e^{u} + C = -\tfrac12\,e^{-2x^{2}} + C.

Resposta

-\tfrac12\,e^{-2x^{2}} + C

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