O vetor posição de uma partícula é dado por \vec{r}(t)=\left(3 t^{2}\right) i+(4 t+2) j, onde r está em metros e t em segundos.(a) Determine o vetor velocidade \vec{v}(\mathrm{t}).(b) Determine o vetor aceleração \vec{a}(t).(c) Calcule o módulo da velocidade da partícula no instante \mathrm{t}=2 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado dá o vetor posição da partícula
\vec{r}(t) = \left(3 t^{2}\right)\,i + (4 t + 2)\,j,
onde \vec{r} está em metros e t em segundos. As perguntas são:
(a) determinar o vetor velocidade \vec{v}(t);
(b) determinar o vetor aceleração \vec{a}(t);
(c) calcular o módulo da velocidade no instante t=2\\ \mathrm{s}.

Passo 2

Conceito e fórmula útil: a velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo. Matematicamente,
\vec{v}(t)=\frac{d\vec{r}}{dt},
ou seja, derivamos cada componente do vetor posição em relação a t. Relembre as regras básicas de derivação que usaremos:
  • A derivada de t^{n} é n t^{n-1}.
  • A derivada de a t + b (com a,b constantes) é a.
    Aplicando isso componente a componente:
\vec{v}(t)=\left(\frac{d}{dt}(3t^{2})\right)i+\left(\frac{d}{dt}(4t+2)\right)j.
Agora calculamos as derivadas: \frac{d}{dt}(3t^{2})=3\cdot 2 t=6t e \frac{d}{dt}(4t+2)=4. Portanto
\vec{v}(t)= (6t)\,i + 4\,j.

Passo 3

Interpretação rápida (útil na prova): a componente 6t na direção i significa que a velocidade na direção x cresce linearmente com t; a componente 4 na direção j é constante (velocidade constante em y). As unidades são metros por segundo ( m/s).

Passo 4

Conceito e fórmula útil para aceleração: a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente,
\vec{a}(t)=\frac{d\vec{v}}{dt}.
Derivamos novamente componente a componente. A derivada de 6t é 6. A derivada de 4 (constante) é 0. Então
\vec{a}(t)=6\,i + 0\,j = 6\,i.
Isso mostra que a aceleração é constante e dirigida ao longo do eixo x, com magnitude 6\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Para calcular o módulo (ou velocidade escalar) usamos a fórmula do módulo de um vetor no plano:
|\vec{v}(t)|=\sqrt{v_x(t)^{2}+v_y(t)^{2}},
onde v_x(t) e v_y(t) são as componentes de \vec{v}(t). Aqui v_x(t)=6t e v_y(t)=4. Primeiro avaliamos as componentes em t=2:
v_x(2)=6\cdot 2 = 12,\qquad v_y(2)=4.
Agora o módulo:
|\vec{v}(2)|=\sqrt{12^{2}+4^{2}}=\sqrt{144+16}=\sqrt{160}.
Simplificando \sqrt{160}=\sqrt{16\cdot 10}=4\sqrt{10}. A unidade é metros por segundo: 4\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

(a) \vec{v}(t)=6t\,i+4\,j
(b) \vec{a}(t)=6\,i
(c) |\vec{v}(2)|=4\sqrt{10}\\ \mathrm{m/s}

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