O vetor posição de uma partícula é dado por
, onde r está em metros e t em segundos.(a) Determine o vetor velocidade
.(b) Determine o vetor aceleração
.(c) Calcule o módulo da velocidade da partícula no instante
.
Passo 1
O enunciado dá o vetor posição da partícula
,
onde está em metros e
em segundos. As perguntas são:
(a) determinar o vetor velocidade ;
(b) determinar o vetor aceleração ;
(c) calcular o módulo da velocidade no instante .
onde
(a) determinar o vetor velocidade
(b) determinar o vetor aceleração
(c) calcular o módulo da velocidade no instante
Passo 2
Conceito e fórmula útil: a velocidade é a taxa de variação do vetor posição em relação ao tempo. Matematicamente,
ou seja, derivamos cada componente do vetor posição em relação a
. Relembre as regras básicas de derivação que usaremos:
- A derivada de
é . - A derivada de
(com constantes) é .
Aplicando isso componente a componente:
Agora calculamos as derivadas:
e
. Portanto
Passo 3
Interpretação rápida (útil na prova): a componente
na direção
significa que a velocidade na direção
cresce linearmente com
; a componente
na direção
é constante (velocidade constante em
). As unidades são metros por segundo (
).
Passo 4
Conceito e fórmula útil para aceleração: a aceleração é a taxa de variação da velocidade em relação ao tempo. Matematicamente,
Derivamos novamente componente a componente. A derivada de
é
. A derivada de
(constante) é
. Então
Isso mostra que a aceleração é constante e dirigida ao longo do eixo
, com magnitude
.
Passo 5
Para calcular o módulo (ou velocidade escalar) usamos a fórmula do módulo de um vetor no plano:
onde
e
são as componentes de
. Aqui
e
. Primeiro avaliamos as componentes em
:
Agora o módulo:
Simplificando
. A unidade é metros por segundo:
.
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)