Em coordenadas retangulares, um potencial elétrco é apenas função da coordenada x . Sendo em x=-2 \mathrm{~cm} o potencial elétrico \mathrm{V}=25 \mathrm{~V} e \vec{E}(x)=-1,5.10^{3} \hat{i} (no SI) o campo elétrico na região, determine o potencial elétrico no ponto x=3 \mathrm{~cm}.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o potencial elétrico no ponto x=3\\ \mathrm{cm}. As informações dadas são:
  • O potencial elétrico em x=-2\\ \mathrm{cm} é V=25\\ \mathrm{V}.
  • O campo elétrico na região é \vec{E}(x) = -1,5\times 10^{3}\,\hat{i} (em unidades SI, isto é, \mathrm{V/m}).
  • O potencial é função apenas de x (portanto varia só com a coordenada x).

Passo 2

Conceito importante: a relação entre campo elétrico e potencial elétrico numa direção é dada por \vec{E}=-\nabla V. Como aqui V depende só de x, isso reduz para a relação unidimensional
E_x = -\frac{dV}{dx}.
Explanação: E_x é a componente do campo na direção x; \frac{dV}{dx} é a derivada do potencial em relação a x. A relação diz que o campo aponta na direção de maior decaimento do potencial; o sinal negativo conecta as duas grandezas.

Passo 3

A partir de \displaystyle E_x = -\frac{dV}{dx} podemos escrever a variação finita do potencial entre dois pontos x_1 e x_2 como
V(x_2)-V(x_1) = -\int_{x_1}^{x_2} E_x(x)\,dx.
Explicação: integramos a equação diferencial para obter a diferença de potencial. Se E_x for constante, a integral é simples: -\int_{x_1}^{x_2} E_x\,dx = -E_x\,(x_2-x_1).

Passo 4

Aplicando a fórmula ao nosso caso com x_1=-2\\ \mathrm{cm} (onde V=25\\ \mathrm{V}) e x_2=3\\ \mathrm{cm}:
V(3\\ \mathrm{cm})-V(-2\\ \mathrm{cm}) = -\int_{-2\\ \mathrm{cm}}^{3\\ \mathrm{cm}} E_x\,dx.
Como E_x é constante e igual a -1,5\times10^{3}\\ \mathrm{V/m}, temos
V(3\\ \mathrm{cm})-25\\ \mathrm{V} = -\bigl(-1,5\times10^{3}\bigr)\times\bigl(x_2-x_1\bigr).

Passo 5

Converter as posições para o SI (metros), pois E está em \mathrm{V/m}:
x_1 = -2\\ \mathrm{cm} = -0,02\\ \mathrm{m},\qquad x_2 = 3\\ \mathrm{cm} = 0,03\\ \mathrm{m}.
A diferença é
x_2-x_1 = 0,03-(-0,02)=0,05\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Calcular a contribuição do campo:
-\bigl(-1,5\times10^{3}\bigr)\times 0,05 = 1,5\times10^{3}\times 0,05.
Fazendo as contas passo a passo:
1,5\times10^{3}\times 0,05 = 1,5\times 0,05 \times 10^{3} = 0,075\times 10^{3} = 75.
Portanto a variação de potencial entre os pontos é +75\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Somando ao potencial conhecido em x=-2\\ \mathrm{cm}:
V(3\\ \mathrm{cm}) = 25\\ \mathrm{V} + 75\\ \mathrm{V} = 100\\ \mathrm{V}.

Resposta

100\\ \mathrm{V}

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