Num meio dielétrico cuja constante dielétrica vale 3,6 e o módulo do vetor densidade de fluxo vale 285 \mathrm{nC} / \mathrm{m}^{2}, determine os módulos do vetor campo elétrico e da polarização, bem como a susceptibilidade elétrica admensional do meio.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede as grandezas indicadas:
  • Constante dielétrica (permitividade relativa): \varepsilon_{r}=3,6.
  • Módulo do vetor densidade de fluxo elétrico: \lvert \mathbf{D}\rvert = 285\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}. (Vou trabalhar com \;285\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.)
Perguntas (o que devemos determinar):
  1. O módulo do vetor campo elétrico \lvert \mathbf{E}\rvert.
  2. O módulo da polarização \lvert \mathbf{P}\rvert.
  3. A susceptibilidade elétrica adimensional \chi_{e}.

Passo 2

Vamos lembrar as relações físicas fundamentais entre \mathbf{D}, \mathbf{E} e \mathbf{P}. Aqui explico cada símbolo e fórmula:
  • \varepsilon_{0} é a permitividade do vácuo (constante). Vou usar o valor aproximado \varepsilon_{0}=8,854\times10^{-12}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
  • \varepsilon_{r} é a permitividade relativa (constante dielétrica) do meio; relaciona-se com a susceptibilidade por \varepsilon_{r}=1+\chi_{e}.
  • A definição do vetor densidade de fluxo elétrico é
\mathbf{D}=\varepsilon_{0}\mathbf{E}+\mathbf{P}.
Isto significa que \mathbf{D} representa o campo livre mais o efeito das dipólos do meio (polarização).
  • Em meios lineares, homogêneos e isotrópicos a relação entre \mathbf{D} e \mathbf{E} simplifica para
\mathbf{D}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E}.
Aqui \varepsilon_{0}\varepsilon_{r} é a permitividade do meio.
  • A polarização também é proporcional ao campo elétrico:
\mathbf{P}=\varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E},
com \chi_{e} a susceptibilidade elétrica (adimensional).
  • Da relação \varepsilon_{r}=1+\chi_{e} obtemos diretamente \chi_{e}=\varepsilon_{r}-1.
Com essas fórmulas podemos calcular \lvert \mathbf{E}\rvert a partir de \lvert \mathbf{D}\rvert, depois \chi_{e} e \lvert \mathbf{P}\rvert.

Passo 3

Calcular o módulo do campo elétrico usando \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E}. Isolando \mathbf{E} obtemos
\lvert \mathbf{E}\rvert = \frac{\lvert \mathbf{D}\rvert}{\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}}.
Agora substituímos números (lembre que \lvert \mathbf{D}\rvert=285\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}):
Primeiro calculemos \varepsilon_{0}\varepsilon_{r}:
\varepsilon_{0}\varepsilon_{r} = (8,854\times10^{-12})\times(3,6)=3,1875\times10^{-11}\\ \mathrm{F}/\mathrm{m}.
Agora
\lvert \mathbf{E}\rvert = \frac{285\times10^{-9}}{3,1875\times10^{-11}}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
Faço a divisão:
\lvert \mathbf{E}\rvert \approx 8,94\times10^{3}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}.
(Usei arredondamento compatível com os dados; em notação mais simples \lvert \mathbf{E}\rvert\approx 8{,}9\cdot10^{3}\\ \mathrm{V/m}.)

Passo 4

Calcular a susceptibilidade elétrica \chi_{e}. Pela relação \chi_{e}=\varepsilon_{r}-1 temos diretamente
\chi_{e}=3,6-1=2,6.
Isto é adimensional (sem unidades). Comentário prático: \chi_{e} mede quanto o meio se polariza por unidade de campo elétrico.

Passo 5

Calcular o módulo da polarização \lvert \mathbf{P}\rvert. Podemos usar duas formas equivalentes; eu uso a simplificação direta que evita multiplicar por \varepsilon_{0} e \mathbf{E} separadamente:
Partindo de \mathbf{P}=\varepsilon_{0}\chi_{e}\mathbf{E} e \mathbf{D}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\mathbf{E} obtemos
\mathbf{P}=\frac{\chi_{e}}{\varepsilon_{r}}\mathbf{D}.
Portanto o módulo é
\lvert \mathbf{P}\rvert = \frac{\chi_{e}}{\varepsilon_{r}}\,\lvert \mathbf{D}\rvert.
Substituindo \chi_{e}=2,6, \varepsilon_{r}=3,6 e \lvert \mathbf{D}\rvert=285\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}:
\lvert \mathbf{P}\rvert = \frac{2,6}{3,6}\times 285\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Calcule a fração \dfrac{2,6}{3,6}=0,7222\ldots. Assim
\lvert \mathbf{P}\rvert \approx 0,7222\times285\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}\approx 205{,}8\times10^{-9}\\ \mathrm{C}/\mathrm{m}^{2}.
Convertendo para nanocoulomb por metro quadrado (mesma unidade de \mathbf{D}):
\lvert \mathbf{P}\rvert \approx 205{,}8\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}\approx 206\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}.

Resposta

\lvert \mathbf{E}\rvert \approx 8,94\times10^{3}\\ \mathrm{V}/\mathrm{m}
\lvert \mathbf{P}\rvert \approx 206\\ \mathrm{nC}/\mathrm{m}^{2}
\chi_{e}=2{,}6

Exercícios relacionados