Um plano em
é o referencial para um potencial elétrico em coordenadas retangulares. Calcule a potencial elétrico e a densidade de cargas superficial sobre um condutor em
, se, na região o vetor campo elétrico é dado por
(no SI) e a constante dielétrica (permissividade relativa) vale 4,5 .
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular o potencial elétrico (função de
) tomando como referencial a superfície . - Calcular a densidade superficial de carga
sobre um condutor em .
Informações dadas:
- O campo elétrico na região é
(em SI). - A constante dielétrica (permissividade relativa) é
. - O plano
é o referencial para o potencial (ou seja, o potencial nessa superfície será tomado como volt).
Passo 2
Relação entre campo elétrico e potencial: em eletrostática vale
Aqui o campo depende só de
e aponta na direção
, logo a componente
satisfaz
Explicando:
tem unidades de volt por metro (
),
é o potencial em volts, e a derivada
dá a variação do potencial com a posição. O sinal menos diz que o campo aponta na direção de queda do potencial.
Substituindo
(constante):
Integramos em
para obter
:
onde
é a constante de integração (em volts).
Agora usamos o referencial: o plano
tem
. Então
Calculando o produto:
Logo
Portanto a expressão do potencial é
Verificação rápida: em
obtém-se
, conforme o referencial.
Em particular, o potencial do condutor em
é
Passo 3
Condição de contorno para cargas superficiais: a descontinuidade da componente normal do vetor deslocamento elétrico
é igual à carga superficial livre
:
Aqui
, com
a permissividade do vácuo. Numa superfície condutora perfeita o campo elétrico no interior do condutor é nulo, logo
. Tomando a norma normal que aponta do condutor para a região acima (ou seja,
), obtemos
Explicando:
tem unidade coulomb por metro quadrado (
),
é cerca de
, e multiplicando por
e por
obtemos a densidade de carga necessária para produzir o salto do campo até zero dentro do condutor.
Calculemos numericamente. Primeiro a permissividade absoluta do meio:
Agora multiplica-se por
:
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
O sinal positivo indica que a superfície do condutor em
tem carga superficial positiva, coerente com o campo saindo do condutor na direção
.
Passo 4
Resumo físico rápido (para fixar): o campo constante positivo em
faz o potencial diminuir linearmente com
(daí o coeficiente negativo em
). Como o condutor força o campo interno a zero, aparece uma densidade superficial de carga
no plano
que gera exatamente o salto do campo até zero.