Um plano em z=3 \mathrm{~cm} é o referencial para um potencial elétrico em coordenadas retangulares. Calcule a potencial elétrico e a densidade de cargas superficial sobre um condutor em z=0, se, na região o vetor campo elétrico é dado por \vec{E}(z)=6,67.10^{3} \hat{k} (no SI) e a constante dielétrica (permissividade relativa) vale 4,5 .

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. Calcular o potencial elétrico (função de z) tomando como referencial a superfície z=3\\ \text{cm}.
  2. Calcular a densidade superficial de carga \sigma sobre um condutor em z=0.
Informações dadas:
  • O campo elétrico na região é \vec{E}(z)=6,67\times10^{3}\,\hat{k} (em SI).
  • A constante dielétrica (permissividade relativa) é \varepsilon_{r}=4,5.
  • O plano z=3\\ \text{cm}=0,03\\ \text{m} é o referencial para o potencial (ou seja, o potencial nessa superfície será tomado como 0 volt).

Passo 2

Relação entre campo elétrico e potencial: em eletrostática vale
\vec{E} = -\nabla V.
Aqui o campo depende só de z e aponta na direção \hat{k}, logo a componente z satisfaz
E_{z} = -\frac{dV}{dz}.
Explicando: \vec{E} tem unidades de volt por metro ( \text{V/m}), V é o potencial em volts, e a derivada dV/dz dá a variação do potencial com a posição. O sinal menos diz que o campo aponta na direção de queda do potencial.
Substituindo E_{z}=6,67\times10^{3} (constante):
\frac{dV}{dz} = -6,67\times10^{3}.
Integramos em z para obter V(z):
V(z) = -6,67\times10^{3}\,z + C,
onde C é a constante de integração (em volts).
Agora usamos o referencial: o plano z=0,03\\ \text{m} tem V(0,03)=0. Então
0 = -6,67\times10^{3}\cdot 0,03 + C.
Calculando o produto:
6,67\times10^{3}\cdot 0,03 = 200,1.
Logo
C = 200,1\\ \text{V}.
Portanto a expressão do potencial é
V(z) = -6,67\times10^{3}\,z + 200,1\quad(\text{volts}).
Verificação rápida: em z=0,03 obtém-se V= -200,1 + 200,1 =0, conforme o referencial.
Em particular, o potencial do condutor em z=0 é
V(0)=200,1\\ \text{V}.

Passo 3

Condição de contorno para cargas superficiais: a descontinuidade da componente normal do vetor deslocamento elétrico \vec{D} é igual à carga superficial livre \sigma:
\hat{n}\cdot(\vec{D}_{\text{fora}}-\vec{D}_{\text{dentro}})=\sigma.
Aqui \vec{D}=\varepsilon_{0}\varepsilon_{r}\vec{E}, com \varepsilon_{0} a permissividade do vácuo. Numa superfície condutora perfeita o campo elétrico no interior do condutor é nulo, logo \vec{D}_{\text{dentro}}=\vec{0}. Tomando a norma normal que aponta do condutor para a região acima (ou seja, \hat{n}=\hat{k}), obtemos
\sigma = \hat{k}\cdot\vec{D}_{\text{fora}} = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r} E_{z}.
Explicando: \sigma tem unidade coulomb por metro quadrado ( \text{C/m}^{2}), \varepsilon_{0} é cerca de 8,854\times10^{-12}\\ \text{F/m}, e multiplicando por \varepsilon_{r} e por E_{z} obtemos a densidade de carga necessária para produzir o salto do campo até zero dentro do condutor.
Calculemos numericamente. Primeiro a permissividade absoluta do meio:
\varepsilon = \varepsilon_{0}\varepsilon_{r} = 8,854\times10^{-12}\times 4,5 = 3,9843\times10^{-11}\\ \text{F/m}.
Agora multiplica-se por E_{z}=6,67\times10^{3}:
\sigma = 3,9843\times10^{-11}\times 6,67\times10^{3} = 2,6576\times10^{-7}\\ \text{C/m}^{2}.
Arredondando razoavelmente (3 algarismos significativos):
\sigma \approx 2,66\times10^{-7}\\ \text{C/m}^{2}.
O sinal positivo indica que a superfície do condutor em z=0 tem carga superficial positiva, coerente com o campo saindo do condutor na direção +\hat{k}.

Passo 4

Resumo físico rápido (para fixar): o campo constante positivo em \hat{k} faz o potencial diminuir linearmente com z (daí o coeficiente negativo em V(z)). Como o condutor força o campo interno a zero, aparece uma densidade superficial de carga \sigma no plano z=0 que gera exatamente o salto do campo até zero.

Resposta

V(z) = -6,67\times10^{3}\,z + 200,1\\ \text{V} (com z em metros; em particular V(0)=200,1\\ \text{V}).
\sigma \approx 2,66\times10^{-7}\\ \text{C/m}^{2}.

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