A função potencial elétrico de um campo, em coordenadas cilíndricas dada por V(r)= 5 a e^{-\frac{r}{a}}, no SI, onde a é uma constante. Determine o vetor campo elétrico em r=2 a

Passo 1

O enunciado dá a função potencial em coordenadas cilíndricas \;V(r)=5a\,e^{-r/a}\; (unidades SI) e pede o vetor campo elétrico no ponto \;r=2a\;.
Informações relevantes fornecidas:
  • A dependência é somente do raio cilíndrico \;r\; (ou seja, V é função apenas de \;r\;).
  • A constante \;a\; está presente no enunciado (não é pedido seu valor numérico).
  • Queremos o vetor \vec{E} em \;r=2a\;.

Passo 2

Fórmula que liga potencial elétrico ao campo elétrico: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Em notação:
\vec{E} = -\nabla V.
Explicando isso de forma simples: o gradiente aponta na direção de maior aumento de V; o campo elétrico aponta na direção de maior diminuição de V, por isso o sinal negativo. Aqui V depende só de \;r\;, então o gradiente em coordenadas cilíndricas reduz-se à derivada radial multiplicada pelo versor radial \hat{r}.

Passo 3

Para uma função que depende apenas de \;r\;, temos
\nabla V=\frac{dV}{dr}\,\hat{r}.
Isso porque as componentes angulares e axiais do gradiente são nulas quando não há dependência em \theta nem em z. Então basta calcular \dfrac{dV}{dr}.

Passo 4

Calculemos a derivada \dfrac{dV}{dr} passo a passo. Partimos de \;V(r)=5a\,e^{-r/a}\;.
Derivando:
\frac{dV}{dr}=5a\cdot\frac{d}{dr}\bigl(e^{-r/a}\bigr).
A derivada de e^{-r/a} em relação a r é e^{-r/a} vezes a derivada do expoente -r/a, que é -1/a. Logo
\frac{dV}{dr}=5a\cdot e^{-r/a}\cdot\left(-\frac{1}{a}\right)=-5\,e^{-r/a}.

Passo 5

Agora aplicamos \vec{E}=-\nabla V. Substituindo \nabla V=\dfrac{dV}{dr}\hat{r} obtemos
\vec{E}(r) = -\frac{dV}{dr}\,\hat{r} = -\bigl(-5\,e^{-r/a}\bigr)\hat{r}=5\,e^{-r/a}\,\hat{r}.
Interpretação física rápida: o campo aponta no sentido radial positivo ( \hat{r}) porque a constante resultante é positiva; o módulo decai exponencialmente com r.

Passo 6

Avalie em \;r=2a\;:
\vec{E}(2a)=5\,e^{-2}\,\hat{r}.
Unidade: como V está em volts, e gradiente dá volts por metro, \vec{E} tem unidade \text{V/m}. Se quiser uma aproximação numérica, lembre que e^{-2}\approx0{,}135335, então 5e^{-2}\approx0{,}676676.

Resposta

\displaystyle \vec{E}(2a)=5\,e^{-2}\,\hat{r}\\ \text{V/m}
\displaystyle \vec{E}(2a)\approx0{,}676676\,\hat{r}\\ \text{V/m}

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