A função potencial elétrico de um campo, em coordenadas cilíndricas dada por
, no SI, onde
é uma constante. Determine o vetor campo elétrico em
Passo 1
O enunciado dá a função potencial em coordenadas cilíndricas
(unidades SI) e pede o vetor campo elétrico no ponto
.
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A dependência é somente do raio cilíndrico
(ou seja, é função apenas de ). - A constante
está presente no enunciado (não é pedido seu valor numérico). - Queremos o vetor
em .
Passo 2
Fórmula que liga potencial elétrico ao campo elétrico: o campo elétrico é o negativo do gradiente do potencial. Em notação:
Explicando isso de forma simples: o gradiente aponta na direção de maior aumento de
; o campo elétrico aponta na direção de maior diminuição de
, por isso o sinal negativo. Aqui
depende só de
, então o gradiente em coordenadas cilíndricas reduz-se à derivada radial multiplicada pelo versor radial
.
Passo 3
Para uma função que depende apenas de
, temos
Isso porque as componentes angulares e axiais do gradiente são nulas quando não há dependência em
nem em
. Então basta calcular
.
Passo 4
Calculemos a derivada
passo a passo. Partimos de
.
Derivando:
Derivando:
A derivada de
em relação a
é
vezes a derivada do expoente
, que é
. Logo
Passo 5
Agora aplicamos
. Substituindo
obtemos
Interpretação física rápida: o campo aponta no sentido radial positivo (
) porque a constante resultante é positiva; o módulo decai exponencialmente com
.
Passo 6
Avalie em
:
Unidade: como
está em volts, e gradiente dá volts por metro,
tem unidade
. Se quiser uma aproximação numérica, lembre que
, então
.