As coordenadas de três pontos são dadas por A(-2 ; 2 ; 3), B(1 ; 0 ;-3) e C(1 ; 3 ;-1). Considere um vector C A=a, um outro B A=b, determine: a) Os módulos dos vectores a e b; b) a cdot b e a times b c) O ângulo entre a e b.

Passo 1

Beleza, aqui o que a gente tem: os pontos
A(−2, 2, 3), B(1, 0, −3) e C(1, 3, −1).
Matéria: operações de vetores em ℝ³ – como achar um vetor dado dois pontos, módulo, produto escalar, produto vetorial e ângulo entre vetores.
Vamos precisar de:
  • vetor entre dois pontos: XY=Y−X, coordenada a coordenada;
  • módulo de v=(x,y,z): |v|=raizx^2+y^2+z^2;
  • produto escalar: ucdotv=uxvx+uyvy+uzvz;
  • produto vetorial:
utimesv= l(uyvz-uzvy,;uzvx-uxvz,;uxvy-uyvxr);
  • ângulo: costheta=dfracucdotv|u||v|.

Passo 2

Calcular os vetores
a=CA=A - C =(-2-1,;2-3,;3-(-1)) =(-3,,-1,;4),
b=BA=A - B =(-2-1,;2-0,;3-(-3)) =(-3,;2,;6)

Passo 3

Módulos
|a|=raiz(-3)^2+(-1)^2+4^2 =raiz9+1+16 =raiz26,
|b|=raiz(-3)^2+2^2+6^2 =raiz9+4+36 =raiz49 =7

Passo 4

Produto escalar
acdotb =(-3)(-3)+(-1)(2)+(4)(6) =9-2+24 =31

Passo 5

Produto vetorial
atimesb= l( (-1)cdot6-4cdot2,; 4cdot(-3)-(-3)cdot6,; (-3)cdot2-(-1)cdot(-3) r) =(-6-8,;-12+18,;-6-3) =(-14,;6,;-9)

Passo 6

Ângulo entre os vetores
costheta =acdotb|a|,|b| =31raiz26,cdot7 =317raiz26
Logo
theta=arccos!l(tfrac317raiz26r)approx30^circ

Resposta

a) |a|=raiz26, \quad |b|=7
b) acdotb=31, \quad atimesb=(-14,,6,,-9)
c) theta=arccos!l(tfrac317raiz26r)approx30^circ

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