As coordenadas dos vetores e dos pontos que aparecem nos exercícios a seguir são suas coordenadas com relação a um sistema de coordenadas ortonormal positivo.
Calcule a área do triângulo de vértices A=(2,1,2), B=(2,0,0) e (5,2,3)

Passo 1

O enunciado dá os vértices
A=(2,1,2), B=(2,0,0), C=(5,2,3)
em um sistema de coordenadas ortonormal e pede a área do triângulo ABC.
Para isso usamos que
Área(ABC)=12l|ABtimesACr| Á

Passo 2

Calculamos os vetores lado:
AB=B-A=(2-2,;0-1,;0-2)=(0,-1,-2),
AC=C-A=(5-2,;2-1,;3-2)=(3,1,1)

Passo 3

Usamos o produto vetorial em forma de determinante:
ABtimesAC = i & j & k 0 & -1 & -2 3 & 1 & 1
Separando em componentes,
(ABtimesAC)1 = (-1)cdot1 - (-2)cdot1 = 1,
(ABtimesAC)2 = -l(0cdot1 - (-2)cdot3r) = -6,
(ABtimesAC)3 = 0cdot1 -(-1)cdot3 = 3
Portanto
ABtimesAC = (1,-6,3)

Passo 4

Calculamos o módulo do produto vetorial:
l|ABtimesACr| =raiz1^2+(-6)^2+3^2 =raiz46
Logo a área do triângulo é
Área(ABC)=12,raiz46 Á

Resposta

raiz462

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