Um copo de água é levado de uma sala (onde a temperatura é de 25^circ C ) para fora (onde a temperatura é de 0^circ C ). Após 1 minuto a água possui uma temperatura de 15^circ C. Determine a temperatura da água como função do tempo. Qual será a temperatura após 2 minutos? Em quanto tempo a temperatura da água será 10^circ C ? O que ocorre com a temperatura da água quando o tempo tende ao infinito?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um copo de água que está numa sala a 25^circ C e é levado para fora, onde a temperatura é 0^circ C. Após 1 minuto, a água esfria para 15^circ C. Precisamos determinar a temperatura da água em função do tempo, descobrir qual será a temperatura após 2 minutos, em quanto tempo a água chega a 10^circ C e o que acontece com a temperatura da água quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente com temperatura constante.

Passo 2

A Lei do Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é representado por:
dTdt = -k (T - Tamb)
onde:
  • $ T $ é a temperatura da água,
  • $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente,
  • $ k $ é a constante de resfriamento,
  • $ t $ é o tempo.

Passo 3

Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos os termos:
dTT - Tamb = -k , dt
Integrando ambos os lados:
ln|T - Tamb| = -kt + C
onde $ C $ é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
C
Então, a solução geral é:
T - Tamb = Ce^-kt

Passo 4

Agora, vamos determinar a constante $ C $ usando a condição inicial. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ T = 25^{\circ} \mathrm{C} $:
C
Então, a função fica:
t = 0

Passo 5

Usando a informação de que após 1 minuto a temperatura é 15^circ C para encontrar $ k $:
k
Dividindo ambos os lados por 25:
15 = 25 e^-k cdot 1
Aplicando o logaritmo natural:
1525 = e^-k Rightarrow 35 = e^-k

Passo 6

Agora que temos $ k $, a função da temperatura fica:
k

Passo 7

Queremos a temperatura após 2 minutos:
T(2) = 25 (35)^2 = 25 cdot 925 = 9^circ C

Passo 8

Para encontrar o tempo em que a temperatura será 10^circ C:
10 = 25 (35)^t
Dividindo ambos os lados por 25:
1025 = (35)^t Rightarrow 25 = (35)^t
Aplicando o logaritmo natural:
ln(25) = t ln(35) Rightarrow t = ln(25)ln(35)
Calculando:
t approx -0,9163-0,5108 approx 1,794 minutos

Passo 9

Quando o tempo tende ao infinito ($ t \to \infty $), a função $ \left(\frac{3}{5}\right)^t $ tende a zero. Portanto:
t to infty

Resposta

A temperatura da água em função do tempo é $ T(t) = 25 \left(\frac{3}{5}\right)^t $ graus Celsius. Após 2 minutos, a temperatura será de T(t) = 25 (35)^t . Atingirá 9^circ C aproximadamente em 1,794 minutos. Quando o tempo tende ao infinito, a temperatura da água aproxima-se de 10^circ C.

Exercícios relacionados