Um copo de água é levado de uma sala (onde a temperatura é de
) para fora (onde a temperatura é de
). Após 1 minuto a água possui uma temperatura de
. Determine a temperatura da água como função do tempo. Qual será a temperatura após 2 minutos? Em quanto tempo a temperatura da água será
? O que ocorre com a temperatura da água quando o tempo tende ao infinito?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um copo de água que está numa sala a
e é levado para fora, onde a temperatura é
. Após 1 minuto, a água esfria para
. Precisamos determinar a temperatura da água em função do tempo, descobrir qual será a temperatura após 2 minutos, em quanto tempo a água chega a
e o que acontece com a temperatura da água quando o tempo tende ao infinito.
Para resolver isso, vamos usar a Lei do Resfriamento de Newton, que descreve como a temperatura de um objeto muda ao longo do tempo quando está em contato com um ambiente com temperatura constante.
Passo 2
A Lei do Resfriamento de Newton diz que a taxa de variação da temperatura do objeto é proporcional à diferença entre a temperatura do objeto e a temperatura do ambiente. Matematicamente, isso é representado por:
onde:
- $ T $ é a temperatura da água,
- $ T_{amb} $ é a temperatura ambiente,
- $ k $ é a constante de resfriamento,
- $ t $ é o tempo.
Passo 3
Vamos resolver essa equação diferencial. Primeiro, rearranjamos os termos:
Integrando ambos os lados:
onde $ C $ é a constante de integração. Exponenciando ambos os lados para eliminar o logaritmo:
Então, a solução geral é:
Passo 4
Agora, vamos determinar a constante $ C $ usando a condição inicial. Sabemos que quando $ t = 0 $, $ T = 25^{\circ} \mathrm{C} $:
Então, a função fica:
Passo 5
Usando a informação de que após 1 minuto a temperatura é
para encontrar $ k $:
Dividindo ambos os lados por 25:
Aplicando o logaritmo natural:
Passo 6
Agora que temos $ k $, a função da temperatura fica:
Passo 7
Queremos a temperatura após 2 minutos:
Passo 8
Para encontrar o tempo em que a temperatura será
:
Dividindo ambos os lados por 25:
Aplicando o logaritmo natural:
Calculando:
Passo 9
Quando o tempo tende ao infinito ($ t \to \infty $), a função $ \left(\frac{3}{5}\right)^t $ tende a zero. Portanto:
Resposta
A temperatura da água em função do tempo é $ T(t) = 25 \left(\frac{3}{5}\right)^t $ graus Celsius. Após 2 minutos, a temperatura será de
. Atingirá
aproximadamente em 1,794 minutos. Quando o tempo tende ao infinito, a temperatura da água aproxima-se de
.