Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty n^34+n^4 (use o teste da integral)

Passo 1

O enunciado pede pra estudar a convergência da série sumn=1^infty n^34+n^4 usando o teste da integral. O conteúdo aqui é teste de integral para séries numéricas, que exige definir uma função f(x) positiva e eventual monotona para depois analisar integral1^infty f(x),dx.

Passo 2

Definimos a função f(x)=x^3x^4+4, válida para x>=1. Primeiro notamos que f(x)>0 nesse intervalo. Para verificar a monotonicidade, calculamos a derivada
f'(x)=(3x^2)(x^4+4)-x^3(4x^3)(x^4+4)^2 =3x^6+12x^2-4x^6(x^4+4)^2 =-x^6+12x^2(x^4+4)^2

Passo 3

O numerador -x^6+12x^2=x^2(-x^4+12) fica negativo sempre que x^4>12, ou seja para x>12^1/4approx1,86. Logo, em [2,infty), f'(x)<0 e f é decrescente. Os primeiros termos de n=1 não afetam a convergência do resto da série.

Passo 4

Aplicamos o teste da integral considerando
integral2^inftyx^3x^4+4,dx

Passo 5

Faço a substituição u=x^4+4, daí du=4x^3,dx ou x^3,dx=du4. Quando x=2, u=2^4+4=20; quando xtoinfty, utoinfty. Assim
integral2^inftyx^3x^4+4,dx =14integral20^inftyduu =14l[ln ur]20^infty =14l(limttoinftyln t -ln20r) =infty

Passo 6

Como a integral imprópria diverge (vai para infinito), pelo teste da integral a série sumn=1^infty n^3n^4+4 também diverge.

Resposta

A série diverge.

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