Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
(use o teste da integral)
Passo 1
O enunciado pede pra estudar a convergência da série
usando o teste da integral. O conteúdo aqui é teste de integral para séries numéricas, que exige definir uma função
positiva e eventual monotona para depois analisar
.
Passo 2
Definimos a função
, válida para
. Primeiro notamos que
nesse intervalo. Para verificar a monotonicidade, calculamos a derivada
Passo 3
O numerador
fica negativo sempre que
, ou seja para
. Logo, em
,
e
é decrescente. Os primeiros termos de
não afetam a convergência do resto da série.
Passo 4
Aplicamos o teste da integral considerando
Passo 5
Faço a substituição
, daí
ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 6
Como a integral imprópria diverge (vai para infinito), pelo teste da integral a série
também diverge.
Resposta
A série diverge.