Verifique se as seguintes séries são convergentes os divergentes. Justifique sua resposta
sumn=1^infty (-3)^n(n+1)!

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^infty (-3)^n(n+1)!. O tema é séries numéricas e vamos precisar de um critério de convergência (por exemplo, o critério da razão) para decidir se ela converge.

Passo 2

Definimos o termo geral como an = (-3)^n(n+1)!. Para aplicar o critério da razão, calculamos L = limntoinfty gl| an+1an gr|.
Substituindo, temos
gl| an+1an gr| = gl| (-3)^n+1/((n+2)!)(-3)^n/((n+1)!) gr| = 3,(n+1)!(n+2)! = 3n+2
Então
L = limntoinfty 3n+2 = 0

Passo 3

Como L=0<1, o critério da razão garante que a série converge absolutamente. Séries que convergem absolutamente também convergem normalmente.
Portanto, a série sumn=1^infty (-3)^n(n+1)! é convergente (na verdade, convergência absoluta).

Resposta

A série converge absolutamente e, portanto, converge.

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