Considere o PVI ly^prime=(x+y)^2, y(0)=0 Resolva-o, mostre que a solução y é crescente e determine o intervalo de validade da solução. (Sugestão para a primeira parte: descubra uma mudança de variáveis boa.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
y' = (x + y)^2, y(0) = 0
Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável para simplificar a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
z = x + y
Isso significa que:
y = z - x
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $:
x

Passo 3

Sabemos pela equação original que $ y’ = (x + y)^2 $. Como $ z = x + y $, podemos escrever:
y' = (x + y)^2
Então, temos:
z = x + y
Rearranjando:
y' = z^2

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
dzdx = 1 + z^2
Essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ z $ e $ x $:
z

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados:
integral dz1 + z^2 = integral dx
A integral de $ \frac{1}{1 + z^2} $ é $ \arctan(z) $, então:
11 + z^2

Passo 6

Agora, resolvemos para $ z $:
z
Lembrando que $ z = x + y $, substituímos de volta:
z = tan(x + C)

Passo 7

Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $:
y(0) = 0
Isso significa que $ C = 0 $, então:
0 + 0 = tan(0 + C) implies tan(C) = 0
Isolando $ y $:
C = 0

Passo 8

Para mostrar que a solução é crescente, vamos olhar para a derivada $ y’ $:
y'
Como qualquer quadrado é sempre positivo ou zero, $ y’ \geq 0 $. Isso significa que $ y $ é uma função crescente.

Passo 9

Por último, vamos determinar o intervalo de validade. A função $ \tan(x) $ tem assíntotas verticais onde $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, com $ k $ inteiro. Como começamos com $ x = 0 $, o intervalo mais próximo onde a solução é válida fica entre:
tan(x)

Resposta

A solução do problema é $ y = \tan(x) - x $, a função $ y $ é crescente, e o intervalo de validade é $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $.

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