Considere o PVI
Resolva-o, mostre que a solução y é crescente e determine o intervalo de validade da solução. (Sugestão para a primeira parte: descubra uma mudança de variáveis boa.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial juntos! A gente tem uma equação diferencial:
Vamos usar conceitos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar fazer uma mudança de variável para simplificar a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição para facilitar. Vamos definir:
Isso significa que:
Agora, vamos derivar ambos os lados em relação a $ x $:
Passo 3
Sabemos pela equação original que $ y’ = (x + y)^2 $. Como $ z = x + y $, podemos escrever:
Então, temos:
Rearranjando:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial mais simples:
Essa é uma equação separável, ou seja, podemos separar as variáveis $ z $ e $ x $:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados:
A integral de $ \frac{1}{1 + z^2} $ é $ \arctan(z) $, então:
Passo 6
Agora, resolvemos para $ z $:
Lembrando que $ z = x + y $, substituímos de volta:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial $ y(0) = 0 $:
Isso significa que $ C = 0 $, então:
Isolando $ y $:
Passo 8
Para mostrar que a solução é crescente, vamos olhar para a derivada $ y’ $:
Como qualquer quadrado é sempre positivo ou zero, $ y’ \geq 0 $. Isso significa que $ y $ é uma função crescente.
Passo 9
Por último, vamos determinar o intervalo de validade. A função $ \tan(x) $ tem assíntotas verticais onde $ x = \frac{\pi}{2} + k\pi $, com $ k $ inteiro. Como começamos com $ x = 0 $, o intervalo mais próximo onde a solução é válida fica entre:
Resposta
A solução do problema é $ y = \tan(x) - x $, a função $ y $ é crescente, e o intervalo de validade é $ -\frac{\pi}{2} < x < \frac{\pi}{2} $.