Um copo cilíndrico, com 4 cm de raio e 12 cm de altura, está com água até a altura de 8 cm . Foram, então, colocadas em seu interior n bolas de gude, e o nível da água atingiu a boca do copo, sem derramamento. Qual é o volume, em cm3, de todas as n bolas de gude juntas?
A) 32 \pi
B) 48 \pi
C) 64 \pi
D) 80 \pi
E) 96 \pi

Passo 1

O enunciado descreve um copo cilíndrico de raio 4\text{ cm} e altura 12\text{ cm} que inicialmente contém água até 8\text{ cm} de altura. Ao inserirmos n bolas de gude, o nível sobe até a boca do copo 12\text{ cm}. Precisamos usar o princípio de Arquimedes (o volume de água deslocado é igual ao volume dos sólidos submersos) e a fórmula do volume de um cilindro para encontrar o volume total das bolas.

Passo 2

Calculamos o aumento de volume de água ao passar de 8\text{ cm} para 12\text{ cm}. A área da base do copo vale
\pi r^2 = \pi \cdot 4^2 = 16\pi\\ (\text{cm}^2).
O acréscimo de altura é \Delta h = 12 - 8 = 4\text{ cm}.
Logo, o volume de água deslocado é
\Delta V = \pi r^2 \,\Delta h = 16\pi \cdot 4 = 64\pi\\ (\text{cm}^3).

Passo 3

Pelo princípio de Arquimedes, o volume total das n bolas de gude é igual ao volume de água deslocado. Portanto,
V_{\text{bolas}} = \Delta V = 64\pi\\ (\text{cm}^3).

Resposta

64\pi

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