1. (ENEM) Um casal realiza sua mudança de domicílio e necessita colocar numa caixa de papelão um objeto cúbico, de 80 cm de aresta, que não pode ser desmontado. Eles têm à disposição cinco caixas, com diferentes dimensões, conforme descrito:
  • Caixa 1: 86 \mathrm{~cm} \times 86 \mathrm{~cm} \times 86 \mathrm{~cm}
  • Caixa 2: 75 \mathrm{~cm} \times 82 \mathrm{~cm} \times 90 \mathrm{~cm}
  • Caixa 3: 85 cm x 82 cm x 90 cm
  • Caixa 4: 82 \mathrm{~cm} \times 95 \mathrm{~cm} \times 82 \mathrm{~cm}
  • Caixa 5: 80 cm x 95 cm x 85 cm
O casal precisa escolher uma caixa na qual o objeto caiba, de modo que sobre o menor espaço livre em seu interior. A caixa escolhida pelo casal deve ser a de número
a) \quad 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5

Passo 1

O enunciado dá um objeto cúbico de aresta 80 cm e cinco caixas com dimensões internas diferentes. Precisamos escolher entre as caixas que comportam o cubo aquela que deixa o menor espaço livre, ou seja, que minimiza o volume interno da caixa. Para isso usaremos o cálculo de volume:
V_{\text{caixa}} = \text{largura}\times\text{altura}\times\text{profundidade}
e o volume do cubo é
V_{\text{cubo}} = 80^3 = 512000\;\text{cm}^3.

Passo 2

Primeiro, verificamos em quais caixas todas as três dimensões são maiores ou iguais a 80 cm:
  • Caixa 1: 86\times86\times86 → cabe.
  • Caixa 2: 75\times82\times90 → não cabe (uma dimensão é 75<80).
  • Caixa 3: 85\times82\times90 → cabe.
  • Caixa 4: 82\times95\times82 → cabe.
  • Caixa 5: 80\times95\times85 → cabe.

Passo 3

Calculamos o volume interno de cada caixa que comporta o cubo:
V_1 = 86^3 = 636056\;\text{cm}^3,
V_3 = 85\times82\times90 = 627300\;\text{cm}^3,
V_4 = 82\times95\times82 = 638780\;\text{cm}^3,
V_5 = 80\times95\times85 = 646000\;\text{cm}^3.

Passo 4

O espaço livre em cada caixa seria V_i - 512000, mas como 512000 é constante, basta escolher a caixa de menor V_i. Comparando:
V_3 = 627300 < V_1 = 636056 < V_4 = 638780 < V_5 = 646000.
Logo, a Caixa 3 é a que deixa menos espaço livre.

Resposta

c) 3

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