Um copo de papel é feito no formato de um cone reto, de modo que sua capacidade seja 30 \mathrm{~cm}^{3}. Ache a altura h e o raio r da base que minimizam a quantidade de papel utilizada. \left(V_{\text {cone }}=\frac{\pi r^{2} h}{3}\right)

Passo 1

O enunciado dá que um copo de papel é um cone reto cuja capacidade (volume interno) é 30\\ \mathrm{cm}^3. Foi dada a fórmula do volume:
V_{\text{cone}}=\frac{\pi r^{2} h}{3}.
O que se pede: encontrar a altura h e o raio da base r que minimizam a quantidade de papel usada para fabricar o copo.
Informações relevantes e hipóteses claras tiradas do enunciado:
  • Volume fixo: \displaystyle V=\frac{\pi r^{2} h}{3}=30\\ \mathrm{cm}^3.
  • Interpretação natural para “quantidade de papel usada” (hipótese usada aqui): o copo é um cone aberto no topo (um copo de papel típico sem tampa), logo o papel necessário é a área lateral do cone. Não se considera a base circular porque um copo aberto não tem papel cobrindo a abertura.
  • Área lateral de um cone reto: \displaystyle S_{\text{lat}}=\pi r s, onde s é a geratriz (altura inclinada, ou apótema) dada por s=\sqrt{r^{2}+h^{2}}.
O objetivo matemático: minimizar S_{\text{lat}}=\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}} sujeito à restrição de volume \displaystyle \frac{\pi r^{2} h}{3}=30.

Passo 2

Vamos transformar o problema com a restrição em um problema de minimização de uma função de uma variável, eliminando h em função de r.
Da restrição de volume:
\frac{\pi r^{2} h}{3}=30
isolando h obtemos
h=\frac{3\cdot 30}{\pi r^{2}}=\frac{90}{\pi r^{2}}.
Explicação didática: tomar a equação do volume e isolar h é uma técnica padrão para reduzir o número de variáveis quando se tem uma restrição que relaciona as variáveis; aqui ficamos com uma função de r só, que é fácil de derivar.
Para simplificar a escrita, defino a constante
k=\frac{90}{\pi},
assim h=\dfrac{k}{r^{2}}.

Passo 3

Escrevemos a área lateral em função de r usando h=\dfrac{k}{r^{2}}.
A área lateral é
S(r)=\pi r\sqrt{r^{2}+h^{2}}=\pi r\sqrt{r^{2}+\left(\frac{k}{r^{2}}\right)^{2}}=\pi r\sqrt{r^{2}+\frac{k^{2}}{r^{4}}}.
Para evitar a raiz na diferenciação, consideramos a função F(r)=S(r)^{2}. Minimizar S(r) é equivalente a minimizar F(r) porque a função quadrática x\mapsto x^{2} é estritamente crescente para x\ge 0.
Calculamos
F(r)=S(r)^{2}=\pi^{2} r^{2}\left(r^{2}+\frac{k^{2}}{r^{4}}\right)=\pi^{2}\left(r^{4}+\frac{k^{2}}{r^{2}}\right).
Explicação didática: ao quadrar a área lateral a raiz some e ficamos com uma expressão polinomial em r mais uma potência negativa, que é fácil de derivar.

Passo 4

Derivamos F(r) e igualamos a zero para encontrar pontos críticos.
Primeiro derivada de F:
F'(r)=\pi^{2}\left(4r^{3}-2k^{2}r^{-3}\right).
Explicação passo a passo:
  • Derivada de r^{4} é 4r^{3}.
  • Derivada de k^{2}r^{-2} (pois \dfrac{k^{2}}{r^{2}}=k^{2}r^{-2}) é -2k^{2}r^{-3}.
  • O fator \pi^{2} sai multiplicando.
Igualando a zero:
\pi^{2}\left(4r^{3}-2k^{2}r^{-3}\right)=0 \quad\Longrightarrow\quad 4r^{3}-2k^{2}r^{-3}=0.
Multiplicando por r^{3} (positivo porque r>0):
4r^{6}-2k^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{6}=\frac{k^{2}}{2}.
Tomando a raiz sexta positiva (já que r>0):
r^{3}=\frac{k}{\sqrt{2}}.
Logo
r=\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^{1/3}.
Explicação didática: ao multiplicar por r^3 evitamos termos com potência negativa; resolver uma equação polinomial simples em r^6 é direto e ao extrair raízes tomamos a solução positiva physicamente aceitável.

Passo 5

Voltemos à constante k=\dfrac{90}{\pi} para escrever r explicitamente e calcular h.
Substituindo k,
r=\left(\frac{90/ \pi}{\sqrt{2}}\right)^{1/3}=\left(\frac{90}{\pi\sqrt{2}}\right)^{1/3}.
Para h usamos h=\dfrac{k}{r^{2}}. Podemos simplificar a relação h versus r de forma elegante observando as potências:
Do passo anterior temos r^{3}=\dfrac{k}{\sqrt{2}}. Então
r^{2}=\left(r^{3}\right)^{2/3}=\left(\frac{k}{\sqrt{2}}\right)^{2/3}.
Assim
h=\frac{k}{r^{2}}=k\left(\frac{\sqrt{2}}{k}\right)^{2/3}=k^{1/3}2^{1/3}.
Outra observação útil (e bonita): a razão entre h e r fica
\frac{h}{r}=\frac{k^{1/3}2^{1/3}}{k^{1/3}2^{-1/6}}=2^{1/3+1/6}=2^{1/2}=\sqrt{2},
ou seja
h=\sqrt{2}\,r.
Explicação didática: achar uma relação direta h=\lambda r é muito prático — aqui aparece \lambda=\sqrt{2}. Com essa relação fica fácil usar a equação do volume para obter valores numéricos.

Passo 6

Agora usamos a relação h=\sqrt{2}\,r na fórmula do volume para obter o valor numérico de r.
Volume:
30=\frac{\pi r^{2} h}{3}=\frac{\pi r^{2} (\sqrt{2}\,r)}{3}=\frac{\pi \sqrt{2}\, r^{3}}{3}.
Isolando r^{3}:
r^{3}=\frac{3\cdot 30}{\pi \sqrt{2}}=\frac{90}{\pi\sqrt{2}},
o que confirma a expressão anterior. Portanto
r=\left(\frac{90}{\pi\sqrt{2}}\right)^{1/3}.
Calculando numericamente (aproximação):
r\approx 2,73\\ \mathrm{cm}.
Então
h=\sqrt{2}\,r\approx 1,4142\cdot 2,73\approx 3,86\\ \mathrm{cm}.
Explicação didática: os passos numéricos são apenas avaliação da expressão encontrada; todos os passos algébricos são exatos até aqui.

Passo 7

Verificação de que o ponto crítico é mínimo (checagem de segunda derivada).
Voltando à função F(r)=\pi^{2}\left(r^{4}+\dfrac{k^{2}}{r^{2}}\right), sua segunda derivada é
F''(r)=\pi^{2}\left(12r^{2}+6k^{2}r^{-4}\right).
Como r>0 e k>0, temos F''(r)>0 para todo r>0. Em particular, no ponto crítico encontrado F''(r)>0, o que garante que esse ponto crítico corresponde a um mínimo local. Pelo comportamento da função (tende a +\infty quando r\to 0^{+} ou r\to+\infty) é também mínimo global relevante fisicamente. Portanto a solução obtida minimiza a quantidade de papel.
Explicação didática: testar o sinal da segunda derivada é o teste padrão para confirmar que um ponto crítico é mínimo; aqui a expressão positiva mostra claramente mínimo.

Resposta

r=\left(\dfrac{90}{\pi\sqrt{2}}\right)^{1/3}\approx 2,73\\ \mathrm{cm}
h=\sqrt{2}\,r\approx 3,86\\ \mathrm{cm}

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