Um copo de papel é feito no formato de um cone reto, de modo que sua capacidade seja
. Ache a altura
e o raio
da base que minimizam a quantidade de papel utilizada.
Passo 1
O enunciado dá que um copo de papel é um cone reto cuja capacidade (volume interno) é
. Foi dada a fórmula do volume:
O que se pede: encontrar a altura
e o raio da base
que minimizam a quantidade de papel usada para fabricar o copo.
Informações relevantes e hipóteses claras tiradas do enunciado:
- Volume fixo:
. - Interpretação natural para “quantidade de papel usada” (hipótese usada aqui): o copo é um cone aberto no topo (um copo de papel típico sem tampa), logo o papel necessário é a área lateral do cone. Não se considera a base circular porque um copo aberto não tem papel cobrindo a abertura.
- Área lateral de um cone reto:
, onde é a geratriz (altura inclinada, ou apótema) dada por .
O objetivo matemático: minimizar
sujeito à restrição de volume
.
Passo 2
Vamos transformar o problema com a restrição em um problema de minimização de uma função de uma variável, eliminando
em função de
.
Da restrição de volume:
isolando
obtemos
Explicação didática: tomar a equação do volume e isolar
é uma técnica padrão para reduzir o número de variáveis quando se tem uma restrição que relaciona as variáveis; aqui ficamos com uma função de
só, que é fácil de derivar.
Para simplificar a escrita, defino a constante
assim
.
Passo 3
Escrevemos a área lateral em função de
usando
.
A área lateral é
Para evitar a raiz na diferenciação, consideramos a função
. Minimizar
é equivalente a minimizar
porque a função quadrática
é estritamente crescente para
.
Calculamos
Explicação didática: ao quadrar a área lateral a raiz some e ficamos com uma expressão polinomial em
mais uma potência negativa, que é fácil de derivar.
Passo 4
Derivamos
e igualamos a zero para encontrar pontos críticos.
Primeiro derivada de
:
Explicação passo a passo:
- Derivada de
é . - Derivada de
(pois ) é . - O fator
sai multiplicando.
Igualando a zero:
Multiplicando por
(positivo porque
):
Tomando a raiz sexta positiva (já que
):
Logo
Explicação didática: ao multiplicar por
evitamos termos com potência negativa; resolver uma equação polinomial simples em
é direto e ao extrair raízes tomamos a solução positiva physicamente aceitável.
Passo 5
Voltemos à constante
para escrever
explicitamente e calcular
.
Substituindo
,
Para
usamos
. Podemos simplificar a relação
versus
de forma elegante observando as potências:
Do passo anterior temos
. Então
Assim
Outra observação útil (e bonita): a razão entre
e
fica
ou seja
Explicação didática: achar uma relação direta
é muito prático — aqui aparece
. Com essa relação fica fácil usar a equação do volume para obter valores numéricos.
Passo 6
Agora usamos a relação
na fórmula do volume para obter o valor numérico de
.
Volume:
Isolando
:
o que confirma a expressão anterior. Portanto
Calculando numericamente (aproximação):
Então
Explicação didática: os passos numéricos são apenas avaliação da expressão encontrada; todos os passos algébricos são exatos até aqui.
Passo 7
Verificação de que o ponto crítico é mínimo (checagem de segunda derivada).
Voltando à função
, sua segunda derivada é
Como
e
, temos
para todo
. Em particular, no ponto crítico encontrado
, o que garante que esse ponto crítico corresponde a um mínimo local. Pelo comportamento da função (tende a
quando
ou
) é também mínimo global relevante fisicamente. Portanto a solução obtida minimiza a quantidade de papel.
Explicação didática: testar o sinal da segunda derivada é o teste padrão para confirmar que um ponto crítico é mínimo; aqui a expressão positiva mostra claramente mínimo.