Um copo de papel é feito no formato cilíndrico, de modo que sua capacidade seja 30 \mathrm{~cm}^{3}. Ache a altura h e o raio r da base que minimizam a quantidade de papel utilizada.

Passo 1

O enunciado dá um copo de papel de formato cilíndrico com capacidade igual a 30\\ \mathrm{cm}^3. O problema pede: encontrar a altura h e o raio da base r que minimizam a quantidade de papel utilizada. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Volume fixo: V=30\\ \mathrm{cm}^3.
  • Geometria: o copo é um cilindro. Adota-se a hipótese usual de que o copo é aberto na parte superior (ou seja, usa-se papel para a superfície lateral e para a base, mas não para uma tampa).

Passo 2

Definir variáveis e fórmulas básicas (explicando cada símbolo):
  • r é o raio da base do cilindro (em cm).
  • h é a altura do cilindro (em cm).
  • Volume do cilindro: a fórmula é
V=\pi r^{2} h,
onde \pi é a constante geométrica (aprox. 3{,}14159). Essa fórmula vem da área da base \pi r^{2} multiplicada pela altura h.
  • Área de papel usada (área a minimizar): como o copo é aberto em cima, o papel cobre a superfície lateral mais a base. Assim a área total é
A=\text{área lateral}+\text{área da base}=2\pi r h+\pi r^{2}.áá
Explicação: a área lateral de um cilindro é 2\pi r h (circunferência da base 2\pi r vezes a altura h), e a área da base é \pi r^{2}.

Passo 3

Usar a restrição do volume para eliminar uma variável. Da relação do volume temos
V=\pi r^{2} h \quad\Rightarrow\quad h=\frac{V}{\pi r^{2}}.
Aqui isolou-se h para escrever a área A apenas em função de r, o que facilita a minimização.

Passo 4

Substituir h em A e simplificar:
A(r)=2\pi r\left(\frac{V}{\pi r^{2}}\right)+\pi r^{2}.
Simplificando cada termo:
A(r)=2\pi r\cdot\frac{V}{\pi r^{2}}+\pi r^{2}=\frac{2V}{r}+\pi r^{2}.
Portanto a função a minimizar é A(r)=\dfrac{2V}{r}+\pi r^{2}, válida para r>0.

Passo 5

Calcular a derivada de A(r) e encontrar pontos críticos (explicando cada passo da diferenciação):
A derivada é
A'(r)=-2V\cdot r^{-2}+2\pi r.
Detalhe: a derivada de \dfrac{2V}{r} é -2V r^{-2} (regra da potência: (r^{-1})'=-r^{-2}) e a derivada de \pi r^{2} é 2\pi r.
Buscar r tal que A'(r)=0:
-2V r^{-2}+2\pi r=0.
Dividindo por 2 e rearranjando:
\pi r = \frac{V}{r^{2}}\quad\Rightarrow\quad \pi r^{3}=V.
Logo o ponto crítico satisfaz
r^{3}=\frac{V}{\pi}\quad\Rightarrow\quad r=\left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3}.

Passo 6

Verificar que esse ponto corresponde a mínimo (teste da segunda derivada):
Calcular a segunda derivada:
A''(r)=4V r^{-3}+2\pi.
Para r>0 temos 4V r^{-3}>0 e 2\pi>0, então A''(r)>0. Portanto a função A(r) é convexa em r>0 e o ponto crítico encontrado é um mínimo absoluto.

Passo 7

Expressar h correspondente e observar uma relação simples:
Usando h=\dfrac{V}{\pi r^{2}} e r^{3}=\dfrac{V}{\pi}, calculamos
h=\frac{V}{\pi r^{2}}=\frac{\pi r^{3}}{\pi r^{2}}=r.
Conclusão exata: na solução que minimiza o papel, a altura é igual ao raio: h=r.

Passo 8

Colocar os valores numéricos usando V=30\\ \mathrm{cm}^{3}. O raio ótimo é
r=\left(\frac{30}{\pi}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 2{,}12\\ \mathrm{cm},
e como h=r,
h=\left(\frac{30}{\pi}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 2{,}12\\ \mathrm{cm}.

Resposta

r=\left(\dfrac{30}{\pi}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 2{,}12\\ \mathrm{cm}\n
h=\left(\dfrac{30}{\pi}\right)^{1/3}\\ \mathrm{cm}\approx 2{,}12\\ \mathrm{cm}

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