Um copo de papel é feito no formato cilíndrico, de modo que sua capacidade seja
. Ache a altura
e o raio
da base que minimizam a quantidade de papel utilizada.
Passo 1
O enunciado dá um copo de papel de formato cilíndrico com capacidade igual a
. O problema pede: encontrar a altura
e o raio da base
que minimizam a quantidade de papel utilizada. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Volume fixo:
. - Geometria: o copo é um cilindro. Adota-se a hipótese usual de que o copo é aberto na parte superior (ou seja, usa-se papel para a superfície lateral e para a base, mas não para uma tampa).
Passo 2
Definir variáveis e fórmulas básicas (explicando cada símbolo):
-
é o raio da base do cilindro (em cm). -
é a altura do cilindro (em cm). - Volume do cilindro: a fórmula é
onde
é a constante geométrica (aprox.
). Essa fórmula vem da área da base
multiplicada pela altura
.
- Área de papel usada (área a minimizar): como o copo é aberto em cima, o papel cobre a superfície lateral mais a base. Assim a área total é
Explicação: a área lateral de um cilindro é
(circunferência da base
vezes a altura
), e a área da base é
.
Passo 3
Usar a restrição do volume para eliminar uma variável. Da relação do volume temos
Aqui isolou-se
para escrever a área
apenas em função de
, o que facilita a minimização.
Passo 4
Substituir
em
e simplificar:
Simplificando cada termo:
Portanto a função a minimizar é
, válida para
.
Passo 5
Calcular a derivada de
e encontrar pontos críticos (explicando cada passo da diferenciação):
A derivada é
A derivada é
Detalhe: a derivada de
é
(regra da potência:
) e a derivada de
é
.
Buscar tal que
:
Buscar
Dividindo por
e rearranjando:
Logo o ponto crítico satisfaz
Passo 6
Verificar que esse ponto corresponde a mínimo (teste da segunda derivada):
Calcular a segunda derivada:
Calcular a segunda derivada:
Para
temos
e
, então
. Portanto a função
é convexa em
e o ponto crítico encontrado é um mínimo absoluto.
Passo 7
Expressar
correspondente e observar uma relação simples:
Usando e
, calculamos
Usando
Conclusão exata: na solução que minimiza o papel, a altura é igual ao raio:
.
Passo 8
Colocar os valores numéricos usando
. O raio ótimo é
e como
,