Encontre a equação da reta que passa pelo ponto
e que delimita a menor área com os eixos coordenados no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede a equação da reta que:
- passa pelo ponto
; - intercepta os eixos coordenados no primeiro quadrante (ou seja, os pontos de interseção com os eixos têm coordenadas positivas);
- e, entre todas as retas que satisfazem as duas condições acima, delimita a menor área com os eixos no primeiro quadrante.
Informações dadas:
- o ponto por onde a reta passa é
.
Passo 2
Vamos representar uma reta pelo seu formato de interceptos com os eixos, que é muito prático quando o que nos interessa é a área do triângulo formado com os eixos.
Forma de interceptos: se uma reta corta o eixo
em
e o eixo
em
com
e
, então a equação da reta pode ser escrita como
Explicando: essa fórmula garante que, ao colocar
, obtemos
, e ao colocar
obtemos
. Os parâmetros
e
são exatamente os interceptos naqueles eixos.
Passo 3
Como a reta passa por
, devemos ter esse ponto satisfeito pela equação dos interceptos. Substituindo
e
em
obtemos:
Essa é a relação que
e
precisam satisfazer.
Passo 4
A área do triângulo formado pela reta e pelos eixos (no primeiro quadrante) é a área do triângulo de vértices
,
,
, que vale
Queremos escolher
e
que satisfazem
e que minimizam
.
Passo 5
A relação
pode ser manipulada para um formato mais simples. Multiplicando em cruz:
Substituindo isso na expressão da área:
Portanto, minimizar
equivale a minimizar
sob a condição
.
Passo 6
Reescrevemos a condição
como
Agora defina
e
. Então
,
e a condição vira
. Além disso,
Assim, minimizar
é minimizar
com
e
.
Passo 7
Use a desigualdade AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica) para
e
. A AM-GM diz que, para
,
Como
, temos
, então
A igualdade ocorre quando
. Portanto o menor valor possível de
é
, obtido quando
.
Passo 8
Voltando para
e
:
implica
. Da mesma forma
implica
. Logo os interceptos que minimizam a área são
e
. A área mínima resultante é
mas o enunciado pede a equação da reta, não a área.
Passo 9
A reta com interceptos
e
tem equação na forma de interceptos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a forma mais simples
Verificação rápida: o ponto
satisfaz
, e a reta intersecta os eixos em
e
, ambos no primeiro quadrante.