Encontre a equação da reta que passa pelo ponto (1,1) e que delimita a menor área com os eixos coordenados no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede a equação da reta que:
  • passa pelo ponto (1,1);
  • intercepta os eixos coordenados no primeiro quadrante (ou seja, os pontos de interseção com os eixos têm coordenadas positivas);
  • e, entre todas as retas que satisfazem as duas condições acima, delimita a menor área com os eixos no primeiro quadrante.
Informações dadas:
  • o ponto por onde a reta passa é (1,1).

Passo 2

Vamos representar uma reta pelo seu formato de interceptos com os eixos, que é muito prático quando o que nos interessa é a área do triângulo formado com os eixos.
Forma de interceptos: se uma reta corta o eixo x em (a,0) e o eixo y em (0,b) com a>0 e b>0, então a equação da reta pode ser escrita como
\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1.
Explicando: essa fórmula garante que, ao colocar y=0, obtemos x=a, e ao colocar x=0 obtemos y=b. Os parâmetros a e b são exatamente os interceptos naqueles eixos.

Passo 3

Como a reta passa por (1,1), devemos ter esse ponto satisfeito pela equação dos interceptos. Substituindo x=1 e y=1 em \dfrac{x}{a}+\dfrac{y}{b}=1 obtemos:
\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=1.
Essa é a relação que a e b precisam satisfazer.

Passo 4

A área do triângulo formado pela reta e pelos eixos (no primeiro quadrante) é a área do triângulo de vértices (0,0), (a,0), (0,b), que vale
A=\frac{1}{2}ab.
Queremos escolher a>0 e b>0 que satisfazem \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1 e que minimizam A.

Passo 5

A relação \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=1 pode ser manipulada para um formato mais simples. Multiplicando em cruz:
\frac{a+b}{ab}=1 \quad\Rightarrow\quad ab=a+b.
Substituindo isso na expressão da área:
A=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}(a+b).
Portanto, minimizar A equivale a minimizar S=a+b sob a condição ab=a+b.

Passo 6

Reescrevemos a condição ab=a+b como
ab-a-b=0 \quad\Rightarrow\quad (a-1)(b-1)=1.
Agora defina u=a-1 e v=b-1. Então u>0, v>0 e a condição vira uv=1. Além disso,
S=a+b=(u+1)+(v+1)=u+v+2.
Assim, minimizar S é minimizar u+v com u,v>0 e uv=1.

Passo 7

Use a desigualdade AM-GM (média aritmética ≥ média geométrica) para u e v. A AM-GM diz que, para u,v>0,
\frac{u+v}{2}\ge\sqrt{uv}.
Como uv=1, temos \sqrt{uv}=1, então
\frac{u+v}{2}\ge1 \quad\Rightarrow\quad u+v\ge2.
A igualdade ocorre quando u=v. Portanto o menor valor possível de u+v é 2, obtido quando u=v=1.

Passo 8

Voltando para a e b: u=a-1=1 implica a=2. Da mesma forma v=b-1=1 implica b=2. Logo os interceptos que minimizam a área são a=2 e b=2. A área mínima resultante é
A_{\min}=\frac{1}{2}ab=\frac{1}{2}\cdot2\cdot2=2,
mas o enunciado pede a equação da reta, não a área.

Passo 9

A reta com interceptos a=2 e b=2 tem equação na forma de interceptos
\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=1.
Multiplicando ambos os lados por 2 obtemos a forma mais simples
x+y=2.
Verificação rápida: o ponto (1,1) satisfaz 1+1=2, e a reta intersecta os eixos em (2,0) e (0,2), ambos no primeiro quadrante.

Resposta

x+y=2

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