Um copo vazio é mantido de cabeça para baixo logo acima da superfície da água. Com cuidado, um mergulhador pega o copo, que permanece de cabeça para baixo, a uma profundidade de
abaixo da superfície, de modo que uma amostra de ar fique aprisionada no copo. Suponha que a temperatura da água permaneça fixa a 285 K durante a descida. (a) Na profundidade de
, qual fração do volume do copo é enchida de ar? (b) Há
de ar aprisionado no copo. Quanto de energia é transferida como calor durante o processo? (R: (a) 0,5 (b) -32,8 J)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um copo que é levado até uma profundidade de 10,3 metros na água, prendendo ar dentro dele. A gente vai resolver duas partes: primeiro, descobrir qual fração do volume do copo está cheia de ar nessa profundidade, e segundo, calcular a energia transferida como calor durante esse processo. Para isso, vamos usar conceitos de pressão, gás ideal e termodinâmica.
Passo 2
Parte (a): Qual fração do volume do copo é enchida de ar?
Primeiro, precisamos entender como a pressão da água afeta o volume do ar dentro do copo. A pressão total a uma profundidade na água é a soma da pressão atmosférica e da pressão exercida pela coluna de água.
A fórmula para a pressão total $ P $ a uma profundidade $ h $ é:
Onde:
- $ P_{atm} $ é a pressão atmosférica (aproximadamente $ 1 , atm $ ou $ 101325 , Pa $)
- $ \rho $ é a densidade da água ($ 1000 , kg/m^3 $)
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $)
- $ h $ é a profundidade ($ 10,3 , m $)
Vamos calcular $ P $:
Agora, usamos a Lei de Boyle, que relaciona pressão e volume quando a temperatura é constante:
Como o copo estava inicialmente em superfície, $ P_1 = 101325 , Pa $ e $ V_1 $ é o volume inicial de ar. A uma profundidade de 10,3 m, a pressão é $ P_2 = 202268 , Pa $ e o volume é $ V_2 $.
Queremos a fração $ \frac{V_2}{V_1} $:
Passo 3
Parte (b): Quanto de energia é transferida como calor durante o processo?
Aqui, precisamos calcular o calor transferido quando o ar é comprimido no copo. Vamos usar a equação para trabalho em processos isotérmicos (temperatura constante):
Onde:
- $ W $ é o trabalho realizado
- $ n $ é a quantidade de mols de ar ($ 0,200 , mol $)
- $ R $ é a constante dos gases ($ 8,314 , J/(mol·K) $)
- $ T $ é a temperatura (285 K)
- $ \ln $ é o logaritmo natural
Primeiro, calculamos $ \ln\left(\frac{V_2}{V_1}\right) $. Sabemos que $ \frac{V_2}{V_1} = 0,5 $:
Agora, substituímos na fórmula do trabalho:
O sinal negativo indica que a energia foi transferida como calor para o ambiente.
Resposta
(a) A fração do volume do copo que é enchida de ar é aproximadamente 0,5.
(b) A energia transferida como calor durante o processo é -32,8 J.