Uma onda senoidal se propaga em uma corda. O tempo necessário para que um ponto da corda se desloque do deslocamento máximo até zero é 0,190 \mathrm{~s}. (a) Qual é o período e (b) qual a frequência da onda? (c) O comprimento de onda é 1,50 \mathrm{~m}; qual é a velocidade da onda?

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as coisas abaixo.
Dados fornecidos:
  • O tempo necessário para que um ponto da corda vá do deslocamento máximo até zero é \,0,190\\ \mathrm{s}.
  • O comprimento de onda é \,1,50\\ \mathrm{m}.
Perguntas:
(a) Qual é o período (T) da onda?
(b) Qual é a frequência (f) da onda?
(c) Qual é a velocidade (v) da onda?

Passo 2

Entendendo o movimento de um ponto da corda (explicação didática passo a passo).
  • Numa onda senoidal, o deslocamento vertical num ponto da corda varia no tempo de forma harmônica, por exemplo
y(t)=A\sin\!\bigl(\omega t+\varphi\bigr),
onde:
  • A é a amplitude (máximo deslocamento),
  • \omega é a frequência angular (em rad/s),
  • \varphi é a fase inicial,
  • t é o tempo.
  • Quando o ponto está no deslocamento máximo, o seno vale \pm1. Para o seno ir de 1 até 0 a fase deve mudar de \tfrac{\pi}{2} radianos (porque \sin(\tfrac{\pi}{2})=1 e \sin(0)=0). Em termos de tempo, uma variação de fase de \tfrac{\pi}{2} corresponde a um quarto de período.
  • Relação entre fase, frequência angular e período:
\omega=\frac{2\pi}{T}.
Se a fase muda de \Delta\theta=\tfrac{\pi}{2} num tempo \Delta t, então
\Delta\theta=\omega\,\Delta t=\frac{2\pi}{T}\,\Delta t.
Substituindo \Delta\theta=\tfrac{\pi}{2} obtemos
\frac{\pi}{2}=\frac{2\pi}{T}\,\Delta t \quad\Rightarrow\quad T=4\,\Delta t.
  • Resumo prático: o tempo do máximo até zero é \tfrac{T}{4}. Logo T=4\times(\text{tempo dado}).

Passo 3

Cálculo do período usando a relação T=4\,\Delta t.
  • Aqui \Delta t=0,190\\ \mathrm{s}, então
T=4\times0,190\\ \mathrm{s}=0,760\\ \mathrm{s}.

Passo 4

Cálculo da frequência. Definição e cálculo.
  • A frequência f é o inverso do período:
f=\frac{1}{T}.
  • Substituindo T=0,760\\ \mathrm{s},
f=\frac{1}{0,760\\ \mathrm{s}}\approx1,315789\\ \mathrm{Hz}.
  • Arredondando razoavelmente (consistência com os algarismos significativos dos dados), toma-se
f\approx1,32\\ \mathrm{Hz}.

Passo 5

Cálculo da velocidade da onda. Fórmula, razão física e cálculo.
  • A velocidade de propagação v de uma onda periódica relaciona comprimento de onda \lambda e frequência f por
v=\lambda\,f.
Outra forma equivalente, útil aqui, é
v=\frac{\lambda}{T}.
  • Usando \lambda=1,50\\ \mathrm{m} e T=0,760\\ \mathrm{s},
v=\frac{1,50\\ \mathrm{m}}{0,760\\ \mathrm{s}}\approx1,973684\\ \mathrm{m/s}.
  • Arredondando com consistência, fica
v\approx1,97\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

T=0,760\\ \mathrm{s}
f=1,32\\ \mathrm{Hz}
v=1,97\\ \mathrm{m/s}

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