Uma corda de 40 m e massa 1,5 kg está distendida sob uma tensão de 50N. Faz-se oscilar transversalmente uma extremidade da corda, com amplitude de 0,03 \mathrm{~m} para cima. a) Ache a velocidade de propagação v e o comprimento de onda \lambda da onda progressiva gerada na corda. b) Escreva, como função do tempo, o perfil do pulso transversal y na corda.
Passo 1
O enunciado dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto):
Dados fornecidos:
Comprimento da corda: \,L=40\\ \mathrm{m}.
Massa da corda: \,m=1{,}5\\ \mathrm{kg}.
Tensão na corda: \,T=50\\ \mathrm{N}.
A extremidade é deslocada verticalmente com amplitude \,A=0{,}03\\ \mathrm{m} (isto gera um pulso transversal que se propaga pela corda).
Perguntas:
a) Ache a velocidade de propagação \,v e o comprimento de onda \,\lambda da onda progressiva gerada na corda.
b) Escreva, como função do tempo, o perfil do pulso transversal y na corda.
Passo 2
Entender o que é necessário calcular e as fórmulas básicas que vamos usar.
Primeiro, é muito útil definir a densidade linear de massa da corda, que é a massa por unidade de comprimento. Chamamos essa densidade de \mu. A definição é
\mu=\frac{m}{L},
onde \,m é a massa total da corda e \,L é o comprimento.
A velocidade de propagação de pequenas ondas transversais numa corda homogênea e tensa é dada pela fórmula clássica
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde \,T é a tensão na corda e \,\mu a densidade linear. Vou explicar de forma simples de onde vem essa relação a seguir.
Sobre o comprimento de onda: para uma onda harmônica progressiva relaciona-se frequência e comprimento de onda por
v=\lambda f,
onde \,f é a frequência da excitação e \,\lambda o comprimento de onda. Se a excitação não for periódica (for um único pulso), o conceito de comprimento de onda não é diretamente aplicável; então a expressão acima vale quando a extremidade for excitada de forma harmônica com frequência f.
Passo 3
Calcular a densidade linear \mu com os números dados (mostrando contas passo a passo).
Usando \mu=\dfrac{m}{L}:
\mu=\frac{1{,}5\\ \mathrm{kg}}{40\\ \mathrm{m}}.
Calculemos:
\mu=\frac{1{,}5}{40}=0{,}0375\\ \mathrm{kg/m}.
Expliquei: isso significa que cada metro de corda tem 0{,}0375\\ \mathrm{kg}.
Passo 4
Derivar e justificar a fórmula da velocidade v=\sqrt{T/\mu} de modo didático (no nível de prova).
Ideia física curta: pegue um pequeno trecho da corda de comprimento \Delta x. Quando a onda passa, esse trecho descreve movimentos transversais e as forças horizontais de tensão nos seus extremos geram uma resultante que causa aceleração transversa desse trecho. Aplicando a segunda lei de Newton para esse trecho e tomando o limite \Delta x\to0 obtém-se uma equação de onda cuja velocidade de propagação é \sqrt{T/\mu}.
Em palavras: maior tensão puxa mais rápido; maior massa por metro (maior \mu) torna a corda “mais pesada” e a onda vai mais devagar. A fórmula sintetiza isso.
Passo 5
Calcular numericamente a velocidade v.
Substituindo \,T=50\\ \mathrm{N} e \,\mu=0{,}0375\\ \mathrm{kg/m} na fórmula \,v=\sqrt{T/\mu}:
Arredondando razoavelmente para duas casas decimais:
v\approx36{,}51\\ \mathrm{m/s}.
Comentário encorajador: pronto — já temos a velocidade! Isso quer dizer que qualquer perturbação (pulso) colocada na extremidade viaja pela corda a cerca de 36{,}5\\ \mathrm{m/s}.
Passo 6
Tratar o comprimento de onda \lambda e discutir o que pode ou não ser calculado aqui.
Se a extremidade for excitada harmonicamente com frequência \,f (movimento periódico), então a relação entre velocidade, frequência e comprimento de onda vale:
\lambda=\frac{v}{f}.
Como o enunciado só dá a amplitude \,A e não fornece nenhuma frequência \,f nem período, não é possível obter um valor numérico para \lambda sem mais informação. Portanto:
se houver excitação periódica com frequência \,f, então \lambda=v/f e, usando o valor de v calculado, \lambda fica numericamente igual a \,36{,}51/f (unidades: metros, se f em Hz).
se a excitação for um único pulso (não periódico), então o conceito de “comprimento de onda” não se aplica diretamente; descreve-se o pulso por sua extensão espacial (comprimento do pulso) em vez de \lambda.
Passo 7
Escrever o perfil do pulso y(x,t). Vou primeiro dar a forma geral e depois um exemplo concreto e simples que dá resposta explícita na forma pedida.
Forma geral para uma onda progressiva que se propaga no sentido positivo de x:
y(x,t)=f(x-vt),
onde f é uma função que descreve a forma espacial do pulso no instante inicial. Essa é a forma matemática da ideia: a forma f se desloca sem deformar a velocidade v. Aqui:
y é o deslocamento transversal (em metros),
x é a posição ao longo da corda (em metros),
t é o tempo (em segundos),
v é a velocidade de propagação já calculada.
Como o enunciado deu a amplitude máxima \,A=0{,}03\\ \mathrm{m}, devemos ter \max |f|=A.
Passo 8
Dar um exemplo concreto e usual (fácil de usar na prova): pulso em “meia-seno” (semicírculo espacial) de comprimento [\ell).
É comum em provas modelar um pulso de largura espacial \ell por uma forma “meia-seno” que começa em x=0 no instante inicial e tem amplitude A. Essa escolha é boa porque é contínua e tem máximo A. A expressão desse pulso que se propaga para a direita é:
Para posições x\] menores que a frente do pulso (\(x<vt) ainda não chegou; y=0.
Entre x=vt e x=vt+\ell está o pulso propriamente dito com uma forma em meia-seno e amplitude A.
Para x>vt+\ell o pulso já passou e y=0.
No nosso caso, A=0{,}03\\ \mathrm{m} e v\approx36{,}51\\ \mathrm{m/s}. A largura \ell depende de como a extremidade foi movida no tempo (não fornecida), então \ell permanece parâmetro do modelo; se o pulso for muito curto \ell é pequeno, se for mais longo \ell é maior.]
Passo 9
Relacionar essa solução com casos alternativos (onda harmônica) e resumir o que usar na prova.
Se a extremidade for excitada harmonicamente com y(0,t)=A\sin(\omega t), então a onda gerada e que se propaga para a direita tem a forma harmônica
y(x,t)=A\sin(kx-\omega t),
com
k=\frac{2\pi}{\lambda},\qquad \omega=2\pi f,
e a relação v=\omega/k=\lambda f válida. Neste caso, para obter \lambda numericamente é preciso conhecer f (ou \omega).
Se for realmente um único pulso, use a forma y(x,t)=f(x-vt). Um exemplo prático (usado no passo anterior) é o meia-seno com amplitude A.
Resposta
a) [;v=\sqrt{\dfrac{T}{\mu}}=\sqrt{\dfrac{50}{0{,}0375}}\approx36{,}51\ \mathrm{m/s}.) \;\lambda=\dfrac{v}{f} (se a excitação for periódica de frequência f; se for um único pulso, \lambda não é definido).
b) Forma geral do pulso que se desloca para a direita: