Três cargas positivas estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero. Onde q_{1}=Q, q_{2}=2 Q e \mathrm{q}_{3}=\mathrm{Q}. Determine uma expressão para o potencial no centro do triângulo. (S)

Passo 1

O enunciado dá três cargas pontuais positivas localizadas nos vértices de um triângulo equilátero. As cargas são: q_{1}=Q, q_{2}=2Q e q_{3}=Q. Pede-se uma expressão para o potencial elétrico no centro do triângulo.
Vou denotar o comprimento do lado do triângulo por a (o enunciado não deu a, então a resposta ficará em função de a). As informações relevantes são, portanto:
  • cargas: q_{1}=Q,\; q_{2}=2Q,\; q_{3}=Q;
  • triângulo: equilátero de lado a;
  • ponto onde queremos o potencial: centro (centroide/circuncentro coincide no equilátero).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
  • Potencial elétrico devido a uma carga pontual: V_{\text{pontual}}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q}{r},
onde q é a carga, r é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o potencial, e \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo. Essa fórmula dá o potencial escalar (em volts) gerado por uma carga isolada.
  • Princípio da superposição para potencial: o potencial total no ponto é a soma algébrica (simples) dos potenciais gerados por cada carga, porque o potencial é uma grandeza escalar. Ou seja, se houver várias cargas q_i à distâncias r_i, então V_{\text{total}}=\sum_{i}\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{i}}{r_{i}}.
Nada de vetores aqui — por isso o potencial é mais fácil de somar do que o campo.

Passo 3

Geometria: distância do centro do triângulo equilátero até um vértice.
Num triângulo equilátero de lado a:
  • a mediana tem comprimento \displaystyle m=\frac{\sqrt{3}}{2}a (provém do triângulo retângulo formado pelo lado a e meia base a/2);
  • o centroide (que coincide com o circuncentro e incentro no equilátero) fica a uma distância de \tfrac{2}{3} da mediana a partir do vértice. Portanto a distância do centro até um vértice é
r=\frac{2}{3}m=\frac{2}{3}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{a}{\sqrt{3}}.
Logo, todas as três cargas estão à mesma distância r=\dfrac{a}{\sqrt{3}} do centro.

Passo 4

Calcular o potencial no centro usando superposição. Cada carga q_i contribui com \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\dfrac{q_i}{r}. Como as distâncias são iguais, somamos as cargas e dividimos por r:
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\frac{q_{1}}{r}+\frac{q_{2}}{r}+\frac{q_{3}}{r}\right) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{q_{1}+q_{2}+q_{3}}{r}.
Substituindo q_{1}=Q,\;q_{2}=2Q,\;q_{3}=Q obtemos
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\frac{4Q}{r}.
Agora substituímos a expressão de r que encontramos no passo anterior, r=\dfrac{a}{\sqrt{3}}, para ter o potencial em função de a:
V=\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\cdot\frac{4Q}{a/\sqrt{3}}.

Passo 5

Interpretação final e comentário rápido: todas as cargas são positivas, logo o potencial no centro é positivo. A expressão acima já mostra o procedimento que se usa na prova: (1) calcular distâncias geométricas, (2) aplicar V=\dfrac{1}{4\pi\varepsilon_0}\sum q_i/r_i, (3) somar e simplificar. Se precisar de um lembrete-prático: memorize a fórmula do potencial de ponto e que no equilátero a distância centro–vértice é a/\sqrt{3}.

Resposta

\dfrac{\sqrt{3}\,Q}{\pi\varepsilon_{0}\,a}

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