Três cargas positivas estão localizadas nos vértices de um triângulo equilátero. Onde
e
. Determine uma expressão para o potencial no centro do triângulo. (S)
Passo 1
O enunciado dá três cargas pontuais positivas localizadas nos vértices de um triângulo equilátero. As cargas são:
,
e
. Pede-se uma expressão para o potencial elétrico no centro do triângulo.
Vou denotar o comprimento do lado do triângulo por (o enunciado não deu
, então a resposta ficará em função de
). As informações relevantes são, portanto:
Vou denotar o comprimento do lado do triângulo por
- cargas:
; - triângulo: equilátero de lado
; - ponto onde queremos o potencial: centro (centroide/circuncentro coincide no equilátero).
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicando cada símbolo):
- Potencial elétrico devido a uma carga pontual:
onde
é a carga,
é a distância entre a carga e o ponto onde se calcula o potencial, e
é a permissividade do vácuo. Essa fórmula dá o potencial escalar (em volts) gerado por uma carga isolada.
- Princípio da superposição para potencial: o potencial total no ponto é a soma algébrica (simples) dos potenciais gerados por cada carga, porque o potencial é uma grandeza escalar. Ou seja, se houver várias cargas
à distâncias , então
Nada de vetores aqui — por isso o potencial é mais fácil de somar do que o campo.
Passo 3
Geometria: distância do centro do triângulo equilátero até um vértice.
Num triângulo equilátero de lado :
Num triângulo equilátero de lado
- a mediana tem comprimento
(provém do triângulo retângulo formado pelo lado e meia base ); - o centroide (que coincide com o circuncentro e incentro no equilátero) fica a uma distância de
da mediana a partir do vértice. Portanto a distância do centro até um vértice é
Logo, todas as três cargas estão à mesma distância
do centro.
Passo 4
Calcular o potencial no centro usando superposição. Cada carga
contribui com
. Como as distâncias são iguais, somamos as cargas e dividimos por
:
Substituindo
obtemos
Agora substituímos a expressão de
que encontramos no passo anterior,
, para ter o potencial em função de
:
Passo 5
Interpretação final e comentário rápido: todas as cargas são positivas, logo o potencial no centro é positivo. A expressão acima já mostra o procedimento que se usa na prova: (1) calcular distâncias geométricas, (2) aplicar
, (3) somar e simplificar. Se precisar de um lembrete-prático: memorize a fórmula do potencial de ponto e que no equilátero a distância centro–vértice é
.