Uma haste isolante com densidade de carga linear
e densidade de massa linear
é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme
direcionado perpendicularmente à haste.
a) Determine a velocidade escalar da haste após esta ter se deslocado
.
b) E se? Como sua resposta da parte a) mudaria se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste? Explique. (S)
a) Determine a velocidade escalar da haste após esta ter se deslocado
b) E se? Como sua resposta da parte a) mudaria se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste? Explique. (S)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
- Densidade de carga linear:
. (Isto é .) - Densidade de massa linear (massa por unidade de comprimento):
. - Campo elétrico uniforme:
. - A haste é liberada do repouso (velocidade inicial
) e o campo é direcionado perpendicularmente à haste na situação da parte (a). - A distância deslocada pedida é
.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade escalar da haste depois de deslocar .
(b) Explicar como a resposta da parte (a) mudaria se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste.
(a) Determinar a velocidade escalar da haste depois de deslocar
(b) Explicar como a resposta da parte (a) mudaria se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste.
Observação: o comprimento
da haste não foi fornecido; portanto, se a expressão final depender de
precisamos mencionar isso — mas vamos verificar se cancela.
Passo 2
Entendendo a força elétrica sobre a haste e como calcular a força total.
Explicação didática: a haste é isolante com carga distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Isso significa que um pequeno elemento de comprimento
contém uma carga
. Em presença de um campo elétrico uniforme
, cada pequena carga sente uma força elétrica
. Essa força é apontada na direção de
para cada pedaço da haste.
Somando (integrando) ao longo de toda a haste (de comprimento
) obtemos a força total:
Portanto o módulo da força total é
.
Aqui é importante entender cada símbolo:
-
é carga por metro ( ). -
é intensidade do campo ( ). -
é o comprimento da haste ( ). -
tem unidade de newtons ( ).
Passo 3
Massa total da haste e a aceleração do centro de massa.
A massa total da haste é a densidade linear de massa vezes o comprimento:
Aplicando a Segunda Lei de Newton para o movimento do centro de massa (força resultante igual a massa vezes aceleração):
Tomando módulos e substituindo
e
:
Cancelando
dos dois lados (note que isso elimina a necessidade de conhecer
):
Comentário didático: isso mostra que, para uma haste uniformemente carregada em um campo elétrico uniforme, a aceleração do centro de massa é independente do comprimento da haste — porque tanto a força total quanto a massa total são proporcionais a
.
Passo 4
Calcular numericamente a aceleração usando os dados (conversão de unidades).
Primeiro converter
para unidades SI:
Agora calcular
Fazendo as contas passo a passo:
Logo
Portanto a aceleração do centro de massa é
.
Passo 5
Usar cinemática (movimento com aceleração constante) para obter a velocidade após deslocamento
.
Fórmula que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem depender do tempo:
Aqui
, então
Substituindo
e
:
Portanto
Explicação prática: com aceleração pequena (
) e deslocando
, a velocidade final é
.
Passo 6
Parte (b): e se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste? Como isso mudaria a resposta?
Vamos analisar fisicamente com cuidado e mostrar por que a resposta da parte (a) permanece a mesma.
- A expressão para a força sobre cada elemento é
. Se não for perpendicular mas fizer um ângulo com a haste, a força em cada elemento ainda tem magnitude e direção dada por . - A força total é obtida por integração vectorial:
isto é, o vetor força total é colinear com e tem módulo . Portanto o módulo da força total não depende do ângulo entre a haste e o campo. - A massa total continua sendo
. Logo a aceleração do centro de massa tem módulo exatamente igual ao caso perpendicular. Logo a aceleração do centro de massa tem o mesmo valor numérico independente do ângulo. - Sobre rotação: pode parecer que forças em direções que não são perpendiculares possam causar torque e fazer a haste girar. Vamos checar o torque em torno do centro da haste (colocando o centro na origem e a haste ao longo do eixo
, com coordenada ). Para um elemento em , o braço r é e a força é . O torque diferencial é O termo com é zero; resta Integrando de a : Ou seja, o torque total em torno do centro é zero (as contribuições dos lados simetricamente opostos cancelam). Portanto não há tendência líquida para girar o corpo inteiro; ele apenas traduz sob a ação do campo. - Conclusão: mesmo que o campo não seja perpendicular à haste, a aceleração do centro de massa (e portanto a velocidade adquirida após deslocar
ao longo da trajetória na direção do movimento) é a mesma que calculamos na parte (a). Portanto a resposta da parte (a) não muda.
Resposta
Não mudaria;
.