Uma haste isolante com densidade de carga linear \lambda=40,0 \mu \mathrm{C} / \mathrm{m} e densidade de massa linear \mathrm{d}=0,1 \mathrm{Kg} / \mathrm{m} é liberada do repouso em um campo elétrico uniforme \mathrm{E}=100 \mathrm{~V} / \mathrm{m} direcionado perpendicularmente à haste.
a) Determine a velocidade escalar da haste após esta ter se deslocado 2,0 \mathrm{~m}.
b) E se? Como sua resposta da parte a) mudaria se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste? Explique. (S)

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • Densidade de carga linear: \lambda=40{,}0\\ \mu\mathrm{C/m}. (Isto é \lambda=40\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.)
  • Densidade de massa linear (massa por unidade de comprimento): d=0{,}1\\ \mathrm{kg/m}.
  • Campo elétrico uniforme: E=100\\ \mathrm{V/m}.
  • A haste é liberada do repouso (velocidade inicial v_0=0) e o campo é direcionado perpendicularmente à haste na situação da parte (a).
  • A distância deslocada pedida é s=2{,}0\\ \mathrm{m}.
O que o enunciado pede:
(a) Determinar a velocidade escalar da haste depois de deslocar 2{,}0\\ \mathrm{m}.
(b) Explicar como a resposta da parte (a) mudaria se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste.
Observação: o comprimento L da haste não foi fornecido; portanto, se a expressão final depender de L precisamos mencionar isso — mas vamos verificar se cancela.

Passo 2

Entendendo a força elétrica sobre a haste e como calcular a força total.
Explicação didática: a haste é isolante com carga distribuída uniformemente ao longo do comprimento. Isso significa que um pequeno elemento de comprimento dx contém uma carga dq=\lambda\,dx. Em presença de um campo elétrico uniforme \mathbf{E}, cada pequena carga sente uma força elétrica d\mathbf{F}=dq\,\mathbf{E}=\lambda\,\mathbf{E}\,dx. Essa força é apontada na direção de \mathbf{E} para cada pedaço da haste.
Somando (integrando) ao longo de toda a haste (de comprimento L) obtemos a força total:
\mathbf{F}_{\text{tot}}=\int d\mathbf{F}=\int_{0}^{L}\lambda\,\mathbf{E}\,dx=\lambda\,\mathbf{E}\int_{0}^{L}dx=\lambda\,\mathbf{E}\,L.
Portanto o módulo da força total é F_{\text{tot}}=\lambda E L.
Aqui é importante entender cada símbolo:
  • \lambda é carga por metro ( \mathrm{C/m}).
  • E é intensidade do campo ( \mathrm{V/m}=\mathrm{N/C}).
  • L é o comprimento da haste ( \mathrm{m}).
  • F_{\text{tot}} tem unidade de newtons ( \mathrm{N}).

Passo 3

Massa total da haste e a aceleração do centro de massa.
A massa total da haste é a densidade linear de massa vezes o comprimento:
m=d\,L.
Aplicando a Segunda Lei de Newton para o movimento do centro de massa (força resultante igual a massa vezes aceleração):
\mathbf{F}_{\text{tot}}=m\,\mathbf{a}.
Tomando módulos e substituindo F_{\text{tot}}=\lambda E L e m=dL:
\lambda E L = d L \, a.
Cancelando L dos dois lados (note que isso elimina a necessidade de conhecer L):
a=\frac{\lambda E}{d}.
Comentário didático: isso mostra que, para uma haste uniformemente carregada em um campo elétrico uniforme, a aceleração do centro de massa é independente do comprimento da haste — porque tanto a força total quanto a massa total são proporcionais a L.

Passo 4

Calcular numericamente a aceleração usando os dados (conversão de unidades).
Primeiro converter \lambda para unidades SI:
\lambda = 40{,}0\\ \mu\mathrm{C/m}=40{,}0\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}=40\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}.
Agora calcular
a=\frac{\lambda E}{d}=\frac{40\times10^{-6}\\ \mathrm{C/m}\times100\\ \mathrm{N/C}}{0{,}1\\ \mathrm{kg/m}}.
Fazendo as contas passo a passo:
40\times10^{-6}\times100 = 40\times10^{-4}=4\times10^{-3}.
Logo
a=\frac{4\times10^{-3}}{0{,}1}=4\times10^{-2}=0{,}04\\ \mathrm{m/s^{2}}.
Portanto a aceleração do centro de massa é a=0{,}04\\ \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 5

Usar cinemática (movimento com aceleração constante) para obter a velocidade após deslocamento s=2{,}0\\ \mathrm{m}.
Fórmula que relaciona velocidade, aceleração e deslocamento sem depender do tempo:
v^{2}=v_{0}^{2}+2 a s.
Aqui v_{0}=0, então
v^{2}=2 a s.
Substituindo a=0{,}04\\ \mathrm{m/s^{2}} e s=2{,}0\\ \mathrm{m}:
v^{2}=2\times0{,}04\times2{,}0=0{,}16.
Portanto
v=\sqrt{0{,}16}=0{,}4\\ \mathrm{m/s}.
Explicação prática: com aceleração pequena ( 0{,}04\\ \mathrm{m/s^{2}}) e deslocando 2\\ \mathrm{m}, a velocidade final é 0{,}4\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Parte (b): e se o campo elétrico não fosse perpendicular à haste? Como isso mudaria a resposta?
Vamos analisar fisicamente com cuidado e mostrar por que a resposta da parte (a) permanece a mesma.
  • A expressão para a força sobre cada elemento é d\mathbf{F}=\lambda\,\mathbf{E}\,dx. Se \mathbf{E} não for perpendicular mas fizer um ângulo \varphi com a haste, a força em cada elemento ainda tem magnitude \lambda E\,dx e direção dada por \mathbf{E}.
  • A força total é obtida por integração vectorial: \mathbf{F}_{\text{tot}}=\int_{0}^{L}\lambda\,\mathbf{E}\,dx=\lambda\,\mathbf{E}\,L,isto é, o vetor força total é colinear com \mathbf{E} e tem módulo \lambda E L. Portanto o módulo da força total não depende do ângulo entre a haste e o campo.
  • A massa total continua sendo m=dL. Logo a aceleração do centro de massa tem módulo a=\frac{|\mathbf{F}_{\text{tot}}|}{m}=\frac{\lambda E L}{d L}=\frac{\lambda E}{d},exatamente igual ao caso perpendicular. Logo a aceleração do centro de massa tem o mesmo valor numérico independente do ângulo.
  • Sobre rotação: pode parecer que forças em direções que não são perpendiculares possam causar torque e fazer a haste girar. Vamos checar o torque em torno do centro da haste (colocando o centro na origem e a haste ao longo do eixo x, com coordenada x\in[-L/2,L/2]). Para um elemento em x, o braço r é \mathbf{r}=x\hat{\imath} e a força é \mathbf{dF}=\lambda E(\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath})dx. O torque diferencial é d\boldsymbol{\tau}=\mathbf{r}\times d\mathbf{F}=x\hat{\imath}\times\big(\lambda E(\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\varphi\,\hat{\jmath})dx\big).O termo com \hat{\imath}\times\hat{\imath} é zero; resta d\boldsymbol{\tau}=x\lambda E\sin\varphi\,dx\,\hat{k}.Integrando de -L/2 a +L/2: \boldsymbol{\tau}_{\text{tot}}=\lambda E\sin\varphi\left(\int_{-L/2}^{L/2} x\,dx\right)\hat{k}=\lambda E\sin\varphi\cdot 0\cdot\hat{k}=0.Ou seja, o torque total em torno do centro é zero (as contribuições dos lados simetricamente opostos cancelam). Portanto não há tendência líquida para girar o corpo inteiro; ele apenas traduz sob a ação do campo.
  • Conclusão: mesmo que o campo não seja perpendicular à haste, a aceleração do centro de massa (e portanto a velocidade adquirida após deslocar 2{,}0\\ \mathrm{m} ao longo da trajetória na direção do movimento) é a mesma que calculamos na parte (a). Portanto a resposta da parte (a) não muda.

Resposta

v=0{,}4\\ \mathrm{m/s}
Não mudaria; v=0{,}4\\ \mathrm{m/s}.

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