Uma corda com o comprimento de 60,0 cm e massa de 3,00 g está esticada entre dois suportes fixos, com uma tensão de 500 N. Uma de suas frequências de ressonância é de 300 Hz a imediatamente seguinte a esta é de 400 Hz.
Calcule o harmônico que corresponde à frequência de 300 Hz (10 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma corda de 60 cm de comprimento, com uma massa de 3 gramas, esticada entre dois suportes fixos e submetida a uma tensão de 500 N. A corda tem frequências de ressonância de 300 Hz e 400 Hz consecutivas. Nosso objetivo aqui é descobrir qual harmônico está associado à frequência de 300 Hz.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre ondas estacionárias em cordas, especificamente como as frequências de ressonância se relacionam com os harmônicos. Vamos usar fórmulas que conectam a velocidade da onda com o comprimento, a tensão e a densidade linear da corda.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a densidade linear da corda ( mu), que é a massa por unidade de comprimento. A massa da corda é 3,00 g, que é igual a 0,003 kg, e o comprimento é 0,6 metros.
mu = mL = 0,003, kg0,6, m = 0,005, kg/m

Passo 3

Agora, precisamos determinar a velocidade da onda ( v) na corda. A velocidade da onda em uma corda é dada pela fórmula:
v = raizTmu
Onde T é a tensão. Substituindo os valores:
v = raiz500, N0,005, kg/m = raiz100000, m^2/s^2 = 316,23, m/s

Passo 4

Sabemos que as frequências de ressonância estão relacionadas aos harmônicos da corda. A fórmula para a frequência do n-ésimo harmônico ( fn) é:
fn = n cdot v2L
Onde n é o número do harmônico, v é a velocidade da onda e L é o comprimento da corda.

Passo 5

Dado que as frequências de ressonância são 300 Hz e 400 Hz consecutivas, vamos assumir que elas correspondem a dois harmônicos consecutivos, ou seja, fn = 300, Hz e fn+1 = 400, Hz.
Vamos escrever as duas equações:
fn = n cdot v2L = 300, Hz
fn+1 = (n+1) cdot v2L = 400, Hz

Passo 6

Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar v2L:
fn+1fn = (n+1)n = 400300 = 43
Resolvendo para n:
4n = 3(n + 1) Rightarrow 4n = 3n + 3 Rightarrow n = 3

Resposta

A frequência de 300 Hz corresponde ao 3º harmônico da corda.

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