Um corpo de massa m está pendurado na extremidade de uma mola, de massa desprezível e constante de mola k que se movimenta na direção vertical. Este corpo é largado do repouso com a mola frouxa (nem comprimida, nem distendida). O corpo cai 3,42 cm até atingir o ponto mais baixo do seu movimento. Considere g=9,80 m / s^2.
Determine a relação k / m (15 pontos).

Passo 1

Vamos resumir o problema: Temos um corpo de massa $ m $ pendurado em uma mola com constante de mola $ k $. A mola está inicialmente nem comprimida nem esticada. Quando o corpo é solto, ele cai $ 3,42 , cm $ até atingir o ponto mais baixo. Queremos encontrar a relação entre $ k $ e $ m $, ou seja, $ \frac{k}{m} $.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Energia Potencial: a energia que o corpo possui devido à sua posição em um campo gravitacional e a energia armazenada na mola quando ela é esticada ou comprimida.

Passo 2

Primeiro, vamos converter a distância que o corpo cai de centímetros para metros, pois as unidades do SI são mais convenientes para os cálculos:
3,42 , cm = 0,0342 , m
Vamos chamar essa distância de $ y $.

Passo 3

Quando o corpo cai até o ponto mais baixo, a energia potencial gravitacional que ele perdeu é transformada em energia potencial elástica da mola. A Energia Potencial Gravitacional é dada por:
Eg = m cdot g cdot y
onde:
  • $ m $ é a massa do corpo,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,80 , m/s^2 $),
  • $ y $ é a distância percorrida.

Passo 4

A Energia Potencial Elástica armazenada na mola quando ela é esticada ou comprimida é dada por:
Ee = 12 cdot k cdot y^2
onde:
  • $ k $ é a constante da mola,
  • $ y $ é a deformação da mola.

Passo 5

No ponto mais baixo, toda a energia potencial gravitacional é convertida em energia potencial elástica. Portanto, podemos igualar as duas energias:
m cdot g cdot y = 12 cdot k cdot y^2

Passo 6

Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação $ \frac{k}{m} $.
Primeiro, divida ambos os lados da equação por $ y $ (que é diferente de zero):
km

Passo 7

Agora, resolva para $ k $:
k

Passo 8

Queremos a relação $ \frac{k}{m} $, então dividimos ambos os lados da equação por $ m $:
km

Resposta

A relação entre a constante da mola e a massa é:
km = 2gy

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