Um corpo de massa
está pendurado na extremidade de uma mola, de massa desprezível e constante de mola
que se movimenta na direção vertical. Este corpo é largado do repouso com a mola frouxa (nem comprimida, nem distendida). O corpo cai
até atingir o ponto mais baixo do seu movimento. Considere
.
Determine a relação
(15 pontos).
Determine a relação
Passo 1
Vamos resumir o problema: Temos um corpo de massa $ m $ pendurado em uma mola com constante de mola $ k $. A mola está inicialmente nem comprimida nem esticada. Quando o corpo é solto, ele cai $ 3,42 , cm $ até atingir o ponto mais baixo. Queremos encontrar a relação entre $ k $ e $ m $, ou seja, $ \frac{k}{m} $.
Para resolver isso, vamos utilizar conceitos de Energia Potencial: a energia que o corpo possui devido à sua posição em um campo gravitacional e a energia armazenada na mola quando ela é esticada ou comprimida.
Passo 2
Primeiro, vamos converter a distância que o corpo cai de centímetros para metros, pois as unidades do SI são mais convenientes para os cálculos:
Vamos chamar essa distância de $ y $.
Passo 3
Quando o corpo cai até o ponto mais baixo, a energia potencial gravitacional que ele perdeu é transformada em energia potencial elástica da mola. A Energia Potencial Gravitacional é dada por:
onde:
- $ m $ é a massa do corpo,
- $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,80 , m/s^2 $),
- $ y $ é a distância percorrida.
Passo 4
A Energia Potencial Elástica armazenada na mola quando ela é esticada ou comprimida é dada por:
onde:
- $ k $ é a constante da mola,
- $ y $ é a deformação da mola.
Passo 5
No ponto mais baixo, toda a energia potencial gravitacional é convertida em energia potencial elástica. Portanto, podemos igualar as duas energias:
Passo 6
Vamos simplificar essa equação para encontrar a relação $ \frac{k}{m} $.
Primeiro, divida ambos os lados da equação por $ y $ (que é diferente de zero):
Passo 7
Agora, resolva para $ k $:
Passo 8
Queremos a relação $ \frac{k}{m} $, então dividimos ambos os lados da equação por $ m $:
Resposta
A relação entre a constante da mola e a massa é: