Um pêndulo gravítico simples, de comprimento 1 m e massa 200 g , oscila na terra com um periodo T . Um astronauta verisiccu que esse pêndulo, junto á superficie de outro planeta, oscila com T^{\prime}=2,5 T. Considerando o atrito desprezível e o fio ideal, determine:
O módulo da aceleração do pêndulo, na terra, quando este passa na posição de equilibrio apois ter sido abandonado de uma posição em que o fio forma, com a vertical, um ângulo de 30^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Comprimento do fio: L=1\\ \text{m}.
  • Massa do corpo: m=200\\ \text{g}=0,2\\ \text{kg} (nota: a massa aparece, mas no resultado final ela se cancela).
  • Na Terra o pêndulo tem período T.
  • Na superfície de outro planeta o mesmo pêndulo tem período T^{\prime}=2{,}5\,T.
  • Atrito desprezível e fio ideal.
  • O pêndulo é abandonado a partir do repouso numa posição em que o fio faz com a vertical um ângulo inicial \theta_0=30^\circ.
  • Pergunta: determinar o módulo da aceleração do pêndulo, na Terra, quando ele passa pela posição de equilíbrio (isto é, no instante em que a massa atravessa o ponto mais baixo).

Passo 2

Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicando passo a passo).
  1. Conservação de energia mecânica (sem atrito): a energia potencial gravitacional perdida entre a posição inicial e o ponto mais baixo vira energia cinética.
    • Energia potencial (relativa ao ponto mais baixo) na posição inicial: \,U=m g L\bigl(1-\cos\theta_0\bigr)\,.
      Explicação: quando o pêndulo está num ângulo \theta, a massa está elevada em relação ao ponto mais baixo por uma altura \Delta h = L(1-\cos\theta). A energia potencial é m g \Delta h. Aqui g é a aceleração da gravidade na Terra.
    • Energia cinética no ponto mais baixo: \,K=\dfrac{1}{2}m v^2\,, onde v é a velocidade tangencial no ponto mais baixo.
    • Igualando variação de energia potencial com energia cinética: \dfrac{1}{2}m v^2 = m g L\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
    • Cancelando m e isolando v^2: v^2 = 2 g L\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).
    Aqui explique cada variável: v é velocidade tangencial no ponto mais baixo, g é a gravidade local (na Terra), L é o comprimento do fio e \theta_0 é o ângulo inicial.

Passo 3

Aceleração na passagem pelo equilíbrio — interpretação física e fórmula.
  • No ponto mais baixo (posição de equilíbrio) a componente tangencial da aceleração é nula instantaneamente (porque ali a velocidade é máxima e a velocidade instantânea não está aumentando instantaneamente na direção tangencial — formalmente a aceleração tangencial é proporcional à componente do peso tangencial que neste instante é zero). A única aceleração não nula é a aceleração centrípeta (radial), que aponta para o centro da circunferência descrita pela massa.
  • A magnitude da aceleração centrípeta é a = \dfrac{v^2}{L}.Substituindo a expressão de v^2 obtida no passo anterior: a = \dfrac{2 g L\bigl(1-\cos\theta_0\bigr)}{L} = 2 g\bigl(1-\cos\theta_0\bigr).Aqui a é a magnitude da aceleração total da massa no instante em que passa pelo ponto mais baixo (pois a componente tangencial é zero, a única contribuição é a centrípeta).

Passo 4

Observação sobre a informação T e T'.
  • A relação dos períodos seria \,T=2\pi\sqrt{L/g}\, na Terra e \,T'=2\pi\sqrt{L/g'}\, no outro planeta, então \dfrac{T'}{T}=\sqrt{\dfrac{g}{g'}} e com \dfrac{T'}{T}=2{,}5 teríamos g'=\dfrac{g}{(2{,}5)^2}.
  • Porém essa relação não fornece um valor numérico de g na Terra porque T não foi dado numericamente. Logo para obter um valor numérico da aceleração pedida é razoável usar o valor padrão da gravidade na superfície da Terra. Vou usar g=9{,}8\\ \text{m/s}^2,que é o valor usual adotado em exercícios.

Passo 5

Substituição dos números e cálculo numérico (passo a passo, sem pular contas).
  • Primeiro calcule \cos\theta_0 com \theta_0=30^\circ: \cos 30^\circ = \dfrac{\sqrt{3}}{2}.
  • A expressão para a ficou a = 2 g\biggl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr).
  • Substituindo g=9{,}8\\ \text{m/s}^2: a = 2\cdot 9{,}8\biggl(1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\biggr).
  • Agora avaliaremos numericamente: \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}8660254, logo 1-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}1339746. Multiplicando: a \approx 19{,}6\times 0{,}1339746 \approx 2{,}6259\\ \text{m/s}^2.

Resposta

2{,}63\\ \text{m/s}^2

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