Um pêndulo gravítico simples, de comprimento 1 m e massa 200 g , oscila na terra com um periodo T . Um astronauta verisiccu que esse pêndulo, junto á superficie de outro planeta, oscila com
. Considerando o atrito desprezível e o fio ideal, determine:
O módulo da aceleração do pêndulo, na terra, quando este passa na posição de equilibrio apois ter sido abandonado de uma posição em que o fio forma, com a vertical, um ângulo de
.
O módulo da aceleração do pêndulo, na terra, quando este passa na posição de equilibrio apois ter sido abandonado de uma posição em que o fio forma, com a vertical, um ângulo de
Passo 1
O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar tudo com calma para não nos perder):
- Comprimento do fio:
. - Massa do corpo:
(nota: a massa aparece, mas no resultado final ela se cancela). - Na Terra o pêndulo tem período
. - Na superfície de outro planeta o mesmo pêndulo tem período
. - Atrito desprezível e fio ideal.
- O pêndulo é abandonado a partir do repouso numa posição em que o fio faz com a vertical um ângulo inicial
. - Pergunta: determinar o módulo da aceleração do pêndulo, na Terra, quando ele passa pela posição de equilíbrio (isto é, no instante em que a massa atravessa o ponto mais baixo).
Passo 2
Conceitos e ferramentas que vamos usar (explicando passo a passo).
- Conservação de energia mecânica (sem atrito): a energia potencial gravitacional perdida entre a posição inicial e o ponto mais baixo vira energia cinética.
- Energia potencial (relativa ao ponto mais baixo) na posição inicial:
.
Explicação: quando o pêndulo está num ângulo, a massa está elevada em relação ao ponto mais baixo por uma altura . A energia potencial é . Aqui é a aceleração da gravidade na Terra. - Energia cinética no ponto mais baixo:
, onde é a velocidade tangencial no ponto mais baixo. - Igualando variação de energia potencial com energia cinética:
. - Cancelando
e isolando :
é velocidade tangencial no ponto mais baixo, é a gravidade local (na Terra), é o comprimento do fio e é o ângulo inicial. - Energia potencial (relativa ao ponto mais baixo) na posição inicial:
Passo 3
Aceleração na passagem pelo equilíbrio — interpretação física e fórmula.
- No ponto mais baixo (posição de equilíbrio) a componente tangencial da aceleração é nula instantaneamente (porque ali a velocidade é máxima e a velocidade instantânea não está aumentando instantaneamente na direção tangencial — formalmente a aceleração tangencial é proporcional à componente do peso tangencial que neste instante é zero). A única aceleração não nula é a aceleração centrípeta (radial), que aponta para o centro da circunferência descrita pela massa.
- A magnitude da aceleração centrípeta é
Substituindo a expressão de obtida no passo anterior: Aqui é a magnitude da aceleração total da massa no instante em que passa pelo ponto mais baixo (pois a componente tangencial é zero, a única contribuição é a centrípeta).
Passo 4
Observação sobre a informação
e
.
- A relação dos períodos seria
na Terra e no outro planeta, então e com teríamos . - Porém essa relação não fornece um valor numérico de
na Terra porque não foi dado numericamente. Logo para obter um valor numérico da aceleração pedida é razoável usar o valor padrão da gravidade na superfície da Terra. Vou usar que é o valor usual adotado em exercícios.
Passo 5
Substituição dos números e cálculo numérico (passo a passo, sem pular contas).
- Primeiro calcule
com : - A expressão para
ficou - Substituindo
: - Agora avaliaremos numericamente:
, logo . Multiplicando: