Para evitar contaminação por ingestão de água não potável, \mathbf{6} aconselhável ferver a água por alguns minutos. Suponha que, numa situação de sobrevivência, seja necessário aquecer 500 mL de água inicialmente a 20^{\circ} \mathrm{C} até a temperatura de 100^{\circ} \mathrm{C}, colocando-se pedras quentes dentro do recipiente com água. Calcule qual a temperatura que um conjunto de pedras com massa total de 500 g deve atingir para que isso seja possivel. Considere o calor especifico da pedra 840 \mathrm{~J} / \mathrm{Kg} \cdot \mathrm{K}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede:
  • Água inicialmente:
    • Volume: 500\\ \mathrm{mL}.
    • Temperatura inicial: T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C}.
    • Temperatura final desejada: T_f=100^\circ\mathrm{C}.
  • Pedras:
    • Massa total: m_s=500\\ \mathrm{g}.
    • Calor específico da pedra: c_s=840\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
    • Temperatura inicial das pedras T_{s,i} é o que devemos encontrar (a pedra será colocada na água e resfriará até T_f).
  • Dados físicos úteis (valores padrão que vamos usar; não foram fornecidos no enunciado, então adoto o valor usual):
    • Calor específico da água: c_w=4186\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
    • Densidade da água aproximadamente 1\\ \mathrm{g}/\mathrm{mL}, logo 500\\ \mathrm{mL} corresponde a 500\\ \mathrm{g} de água.
O que o enunciado pede:
  • Calcular a temperatura inicial T_{s,i} que as pedras devem ter para aquecer 500\\ \mathrm{mL} de água de 20^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}.

Passo 2

Explicando a ideia física e as fórmulas que usaremos (aula rapidinha, mas didática):
  • Quando pedras quentes são colocadas na água, há troca de calor até atingirem a mesma temperatura final T_f. Em ausência de perdas para o ambiente (pressuposto comum nessas questões), vale a conservação de energia térmica: o calor perdido pelas pedras é igual ao calor ganho pela água.
  • Fórmulas de calor sensível: o calor trocado por uma substância que muda de temperatura sem mudança de fase é
Q = m\,c\,\Delta T,
onde:
  • Q é o calor (em joules, \mathrm{J});
  • m é a massa (em \mathrm{kg});
  • c é o calor específico (em \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K});
  • \Delta T é a variação de temperatura (em kelvin ou graus Celsius; uma variação de 1\\ \mathrm{K} = 1^\circ\mathrm{C}).
  • Aqui usamos:
    • Calor ganho pela água: Q_w = m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}).
    • Calor perdido pelas pedras: Q_s = m_s\,c_s\,(T_{s,i}-T_f). (Note que T_{s,i}>T_f para o termo ser positivo.)
  • Igualando (calor perdido = calor ganho):
m_s\,c_s\,(T_{s,i}-T_f) \;=\; m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}).

Passo 3

Converter massas/volumes para unidades consistentes ( \mathrm{kg}) e listar valores numéricos:
  • Massa da água: m_w = 500\\ \mathrm{mL}=500\\ \mathrm{g}=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Massa das pedras: m_s = 500\\ \mathrm{g}=0,5\\ \mathrm{kg}.
  • Calores específicos: c_w = 4186\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K},\qquad c_s=840\\ \mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}.
  • Temperaturas: T_{w,i}=20^\circ\mathrm{C},\qquad T_f=100^\circ\mathrm{C}.

Passo 4

Montar a equação de conservação de energia e isolar T_{s,i}:
m_s\,c_s\,(T_{s,i}-T_f)=m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}).
Isolando T_{s,i}:
T_{s,i}=T_f + \frac{m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i})}{m_s\,c_s}.
Aqui cada termo significa:
  • T_f é a temperatura comum final ( 100^\circ\mathrm{C}).
  • A fração é a razão entre o calor que a água precisa para aquecer e a capacidade térmica (massa vezes calor específico) das pedras; esse termo dá quanto as pedras devem “descer” de temperatura ao ceder esse calor, então somamos a T_f para obter a temperatura inicial das pedras.

Passo 5

Substituir os números e calcular passo a passo:
Primeiro calculemos a diferença de temperatura da água:
T_f-T_{w,i}=100-20=80\\ \mathrm{K}.
Calcular o numerador m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}):
m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i}) = 0,5\cdot 4186 \cdot 80.
Calcule em partes:
4186\cdot 80 = 334880,
0,5\cdot 334880 = 167440\\ \mathrm{J}.
Calcular o denominador m_s\,c_s:
m_s\,c_s = 0,5\cdot 840 = 420\\ \mathrm{J}/\mathrm{K}.
Agora a fração:
\frac{m_w\,c_w\,(T_f-T_{w,i})}{m_s\,c_s} = \frac{167440}{420} = 398,\overline{666}\\ \mathrm{K}.
Finalmente:
T_{s,i} = T_f + 398,\overline{666} = 100 + 398,\overline{666} = 498,\overline{666}\\ ^\circ\mathrm{C}.
Arredondando com precisão razoável (dados têm aproximadamente 2–3 algarismos significativos):
T_{s,i}\approx 499^\circ\mathrm{C}.

Passo 6

Interpretação prática e observações (curto e motivador):
  • O resultado indica que, sob as suposições ideais (sem perdas de calor para o ambiente, sem troca de massa, sem evaporação antes de alcançar 100^\circ\mathrm{C}), as pedras de 0,5\\ \mathrm{kg} precisariam estar por volta de 499^\circ\mathrm{C} para aquecer 0,5\\ \mathrm{kg} de água de 20^\circ\mathrm{C} até 100^\circ\mathrm{C}.
  • Na prática isso é muito alto: pedras aquecidas a temperaturas tão elevadas tendem a provocar evaporação imediata, podem se fragmentar por choque térmico, e haverá perdas de calor para o ambiente. Para uso real, seria melhor usar mais massa de pedra ou evitar grandes perdas (ou aquecer a água diretamente). Mas para a prova, o raciocínio e os cálculos estão corretos.

Resposta

\;T_{s,i}\approx 499^\circ\mathrm{C}

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