(1,5 pontos) Demonstre a expressão da velocidade relativa, onde v é a velocidade de uma partícula em relação ao referencial S, v^{\prime} é a velocidade da partícula em relação ao referencial S^{\prime} e V é a velocidade de S^{\prime} em relação a S.
1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}}=\frac{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(1-\frac{\vec{v} \cdot \vec{V}}{c^{2}}\right)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a identidade
1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}}=\frac{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(1-\frac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}}\right)^{2}}.
Informações dadas:
  • \vec{v} é a velocidade da partícula medida no referencial S.
  • \vec{v}^{\prime} é a velocidade da mesma partícula medida no referencial S^{\prime}.
  • \vec{V} é a velocidade de S^{\prime} em relação a S.
  • c é a velocidade da luz.
    O objetivo é provar a igualdade acima, partindo das transformações relativísticas (sem assumir passos já conhecidos sobre a fórmula final).

Passo 2

Vamos construir a prova usando quatro-velocidade e a transformação de Lorentz (é um caminho elegante e direto). Primeiro, definir a quatro-velocidade da partícula em S.
Definição e fórmulas úteis:
  • O fator de Lorentz (gamma) relativo a uma velocidade \vec{u} é
\gamma_{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{u^{2}}{c^{2}}}}.
Aqui, u=|\vec{u}|.
  • A quatro-velocidade da partícula no referencial S é o vetor
U^\mu =\bigl(U^{0},\; \vec{U}\bigr)=\bigl(\gamma_{v} c,\; \gamma_{v}\vec{v}\bigr).
Comentário didático: a quatro-velocidade concatena o tempo (multiplicado por c) e a velocidade espacial multiplicada pelo mesmo fator \gamma_{v}. Tem a propriedade invariância do quadrimódulo:
U^\mu U_\mu = (U^{0})^{2}-\|\vec{U}\|^{2}=c^{2},
o que é equivalente à identidade \gamma_{v}^{2}(c^{2}-v^{2})=c^{2}, ou ainda 1-v^{2}/c^{2}=c^{2}/(U^{0})^{2}. Vou usar isso em seguida.

Passo 3

Escrever a transformação de Lorentz (boost) para um boost com velocidade \vec{V}. A componente temporal da quatro-velocidade transforma como (fórmula padrão da transformação de Lorentz para um boost com velocidade \vec{V})
U^{\prime 0}=\gamma_{V}\!\left(U^{0}-\frac{\vec{V}\cdot\vec{U}}{c}\right).
Explicando: esta forma é análoga à transformação de ct para ct' em uma mudança de referencial com velocidade \vec{V}; os fatores de c estão colocados para manter as unidades corretas.
Agora substituímos U^{0}=\gamma_{v}c e \vec{U}=\gamma_{v}\vec{v} na expressão acima:
U^{\prime 0}=\gamma_{V}\!\left(\gamma_{v}c-\frac{\vec{V}\cdot(\gamma_{v}\vec{v})}{c}\right) =\gamma_{V}\gamma_{v}\,c\!\left(1-\frac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}}\right).

Passo 4

Relacionar 1-\dfrac{v^{\prime 2}}{c^{2}} com U^{\prime 0}. Pela propriedade do quadrimódulo da quatro-velocidade (invariante),
(U^{\prime 0})^{2}-\|\vec{U}^{\prime}\|^{2}=c^{2}.
Mas \vec{U}^{\prime}=\gamma_{v^{\prime}}\vec{v}^{\prime} e U^{\prime 0}=\gamma_{v^{\prime}}c, então rearranjando obtemos
1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{(U^{\prime 0})^{2}}.
Comentário didático: esta fórmula só diz que o fator \gamma_{v'} está ligado à componente temporal da quatro-velocidade por U^{\prime 0}=\gamma_{v'}c, daí 1-v^{\prime2}/c^{2}=1/\gamma_{v'}^{2}=c^{2}/(U^{\prime 0})^{2}.

Passo 5

Substituir a expressão de U^{\prime 0} obtida em

Passo 6

1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}}=\frac{c^{2}}{\bigl(\gamma_{V}\gamma_{v}\,c(1-\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}})\bigr)^{2}}.
Simplificando c^{2} e os quadrados:
1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}}=\frac{1}{\gamma_{V}^{2}\gamma_{v}^{2}\left(1-\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}}\right)^{2}}.

Passo 7

Agora usar a definição de \gamma para trocar \gamma_{v}^{2} e \gamma_{V}^{2} por expressões em termos de v^{2} e V^{2}:
\gamma_{v}^{2}=\frac{1}{1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}}\qquad\text{e}\qquad \gamma_{V}^{2}=\frac{1}{1-\dfrac{V^{2}}{c^{2}}}.
Substituindo na expressão do

Passo 8

1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}} =\frac{1}{\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)}\cdot\dfrac{1}{\left(1-\dfrac{V^{2}}{c^{2}}\right)}\left(1-\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}}\right)^{2}} =\frac{\left(1-\dfrac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(1-\dfrac{V^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(1-\dfrac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}}\right)^{2}}.

Resposta

1-\frac{v^{\prime 2}}{c^{2}}=\frac{\left(1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right)\left(1-\frac{V^{2}}{c^{2}}\right)}{\left(1-\frac{\vec{v}\cdot\vec{V}}{c^{2}}\right)^{2}}

Exercícios relacionados