(1,5 pontos) Demonstre a expressão da velocidade relativa, onde
é a velocidade de uma partícula em relação ao referencial
é a velocidade da partícula em relação ao referencial
e
é a velocidade de
em relação a
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a identidade
Informações dadas:
-
é a velocidade da partícula medida no referencial . -
é a velocidade da mesma partícula medida no referencial . -
é a velocidade de em relação a . -
é a velocidade da luz.
O objetivo é provar a igualdade acima, partindo das transformações relativísticas (sem assumir passos já conhecidos sobre a fórmula final).
Passo 2
Vamos construir a prova usando quatro-velocidade e a transformação de Lorentz (é um caminho elegante e direto). Primeiro, definir a quatro-velocidade da partícula em
.
Definição e fórmulas úteis:
- O fator de Lorentz (gamma) relativo a uma velocidade
é
Aqui,
.
- A quatro-velocidade da partícula no referencial
é o vetor
Comentário didático: a quatro-velocidade concatena o tempo (multiplicado por
) e a velocidade espacial multiplicada pelo mesmo fator
. Tem a propriedade invariância do quadrimódulo:
o que é equivalente à identidade
, ou ainda
. Vou usar isso em seguida.
Passo 3
Escrever a transformação de Lorentz (boost) para um boost com velocidade
. A componente temporal da quatro-velocidade transforma como (fórmula padrão da transformação de Lorentz para um boost com velocidade
)
Explicando: esta forma é análoga à transformação de
para
em uma mudança de referencial com velocidade
; os fatores de
estão colocados para manter as unidades corretas.
Agora substituímos
e
na expressão acima:
Passo 4
Relacionar
com
. Pela propriedade do quadrimódulo da quatro-velocidade (invariante),
Mas
e
, então rearranjando obtemos
Comentário didático: esta fórmula só diz que o fator
está ligado à componente temporal da quatro-velocidade por
, daí
.
Passo 5
Substituir a expressão de
obtida em
Passo 6
Simplificando
e os quadrados:
Passo 7
Agora usar a definição de
para trocar
e
por expressões em termos de
e
:
Substituindo na expressão do