Uma corda com 9 m e densidade linear de 40 g / m é fixa em suas extremidades. Se sua frequência fundamental é 20 Hz , qual a tensão na corda quanto ela vibra no terceiro harmônico? (R. 5184 N)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão fala sobre uma corda vibrante, e queremos descobrir a tensão nela quando ela está vibrando no terceiro harmônico. Para isso, vamos usar conceitos de ondas em cordas fixas, especificamente sobre frequência fundamental e harmônicos. Vamos precisar das fórmulas que relacionam frequência, comprimento da corda, densidade linear e tensão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada dado representa:
  • Comprimento da corda, metros.
  • Densidade linear, (converti para kg/m para facilitar os cálculos).
  • Frequência fundamental, Hz.
  • Queremos encontrar a tensão, , quando a corda vibra no terceiro harmônico, ou seja, .

Passo 3

Sabemos que a frequência de um harmônico fn = n times f1 numa corda fixa é dada por:
f3 = 3 times 20 , Hz = 60 , Hz
No terceiro harmônico ( ):

Passo 4

A fórmula que relaciona a frequência de um harmônico, a tensão na corda, a densidade linear e o comprimento é:
fn = n2L times raizTmu
Vamos isolar a tensão T = ( 2L fnn )^2 times mu nessa equação para facilitar nosso cálculo:

Passo 5

Agora, substituímos os valores conhecidos na fórmula:
T = ( 2 times 9 , m times 60 , Hz3 )^2 times 0,04 , kg/m
Primeiro, simplificamos dentro dos parênteses:
2 times 9 times 603 = 10803 = 360
Então:
T = (360)^2 times 0,04

Passo 6

Calculando o quadrado de 360:
360^2 = 129600
Multiplicando pelo 0,04:
T = 129600 times 0,04 = 5184 , N

Resposta

A tensão na corda quando ela vibra no terceiro harmônico é de 5184 N.

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