Se as funções
e
são soluções da equação de Schrödinger, mostre que a combinação linear das equações dada por
também é uma solução.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos pede para mostrar que a combinação linear das funções
e
resulta em
, e que essa nova função também satisfaz a equação de Schrödinger. Vamos usar conceitos de superposição de soluções e propriedades das funções trigonométricas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se duas funções são soluções da equação de Schrödinger, qualquer combinação linear delas também será uma solução. Isso se deve à linearidade da equação de Schrödinger. Ou seja, se
e
são soluções, então
também é uma solução, onde
e
são constantes.
Passo 3
Vamos considerar as duas soluções fornecidas:
Vamos formar uma combinação linear dessas duas funções. Para simplificar, podemos somá-las e multiplicar por uma constante
:
Passo 4
Agora, vamos usar a fórmula de Euler para expressar a soma de exponenciais complexas em termos de funções trigonométricas. Lembrando que:
Aplicando isso à nossa combinação:
Passo 5
Para ajustar a constante, podemos redefinir
como
para que a expressão fique exatamente como a dada no enunciado:
Isso mostra que a combinação linear das duas soluções originais resulta na função
proposta.
Resposta
A combinação linear
é, de fato, uma solução da equação de Schrödinger.