Para uma partícula livre a solução pode ser dada por uma combinação linear de duas ondas planas se deslocando para direita e para esquerda, isto é
Mostre que
e o valor esperado para a onda se propagando para direita é do por
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula livre, ou seja, sem potenciais atuando sobre ela, e a função de onda dela é uma combinação de duas ondas planas, uma indo para a direita e outra para a esquerda. O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
- Encontrar a relação entre o número de onda
e a energia da partícula. - Calcular o valor esperado do momento
para a onda que está se propagando somente para a direita.
Pra resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger para partículas livres e entender como relacionar energia e momento na mecânica quântica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, a equação de Schrödinger independente do tempo é dada por:
Aqui,
é a constante de Planck reduzida,
é a massa da partícula,
é a energia, e
é a função de onda.
Passo 3
Agora, vamos substituir a função de onda dada na equação de Schrödinger. A função de onda é:
Vamos calcular a segunda derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituindo isso na equação de Schrödinger:
Simplificando:
Como
é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por
:
Passo 5
Agora, vamos resolver para
:
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, mostramos que
.
Passo 6
Agora, precisamos encontrar o valor esperado do momento
para a onda que se propaga para a direita, ou seja, considerando apenas o termo
.
Na mecânica quântica, o operador momento é dado por:
Passo 7
Aplicando esse operador à função de onda que se propaga para a direita:
Passo 8
O valor esperado do momento é dado por:
Como estamos considerando apenas a onda indo para a direita e as funções de onda são normalizadas, podemos simplificar para:
Passo 9
Substituindo o valor de
que encontramos:
Resposta
Portanto, mostramos que
e que o valor esperado do momento para a onda se propagando para a direita é
.