Para uma partícula livre a solução pode ser dada por uma combinação linear de duas ondas planas se deslocando para direita e para esquerda, isto é
psi(x)=A e^i k x+B e^-i k x
Mostre que k=raiz2 m Ehbar^2 e o valor esperado para a onda se propagando para direita é do por lang<= prang<==raiz2 m E.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma partícula livre, ou seja, sem potenciais atuando sobre ela, e a função de onda dela é uma combinação de duas ondas planas, uma indo para a direita e outra para a esquerda. O objetivo aqui é mostrar duas coisas:
  1. Encontrar a relação entre o número de onda e a energia da partícula.
  2. Calcular o valor esperado do momento para a onda que está se propagando somente para a direita.
Pra resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger para partículas livres e entender como relacionar energia e momento na mecânica quântica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para uma partícula livre, a equação de Schrödinger independente do tempo é dada por:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é a energia, e é a função de onda.

Passo 3

Agora, vamos substituir a função de onda dada na equação de Schrödinger. A função de onda é:
psi(x) = A e^i k x + B e^-i k x
Vamos calcular a segunda derivada de d^2 psi(x)dx^2 = -k^2 A e^i k x - k^2 B e^-i k x = -k^2 psi(x) em relação a :

Passo 4

Substituindo isso na equação de Schrödinger:
-hbar^22m (-k^2 psi(x)) = E psi(x)
Simplificando:
hbar^2 k^22m psi(x) = E psi(x)
Como hbar^2 k^22m = E é diferente de zero, podemos dividir ambos os lados por :

Passo 5

Agora, vamos resolver para k^2 = 2mEhbar^2 :
k = raiz2mEhbar^2
Tomando a raiz quadrada de ambos os lados:
Então, mostramos que .

Passo 6

Agora, precisamos encontrar o valor esperado do momento p = -i hbar ddx para a onda que se propaga para a direita, ou seja, considerando apenas o termo .
Na mecânica quântica, o operador momento é dado por:

Passo 7

Aplicando esse operador à função de onda que se propaga para a direita:
p A e^i k x = -i hbar ddx ( A e^i k x ) = -i hbar (i k A e^i k x) = hbar k A e^i k x

Passo 8

O valor esperado do momento é dado por:
lang<= p rang<= = integral psi^*(x) p psi(x) , dx
Como estamos considerando apenas a onda indo para a direita e as funções de onda são normalizadas, podemos simplificar para:
lang<= p rang<= = hbar k

Passo 9

Substituindo o valor de lang<= p rang<= = hbar raiz2mEhbar^2 = raiz2mE que encontramos:

Resposta

Portanto, mostramos que e que o valor esperado do momento para a onda se propagando para a direita é .

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