A corda elástica de 10 m de comprimento (totalmente esticada) um bungee jumping equivale a uma mola de constante elástica 500 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Um jovem de massa 100 kg , em determinado momento de sua queda, está a 40 m de altura em relação ao solo e a corda está totalmente esticada. Qual é a energia mecânica nesse instante?

Passo 1

O enunciado pergunta: “Qual é a energia mecânica nesse instante?” As informações dadas são:
  • A corda elástica, quando totalmente esticada, tem comprimento 10\\ \mathrm{m} (o enunciado informa esse comprimento).
  • A corda equivale a uma mola com constante elástica k = 500\\ \mathrm{N/m}.
  • A massa do jovem é m = 100\\ \mathrm{kg}.
  • No instante considerado, o jovem está a 40\\ \mathrm{m} de altura em relação ao solo e a corda está totalmente esticada.
  • Não há informação direta sobre a velocidade nesse instante no enunciado.

Passo 2

Vamos esclarecer uma hipótese física necessária e muito comum para este tipo de problema: quando a corda está “totalmente esticada” costuma-se referir ao ponto de máxima extensão, que é o ponto mais baixo da oscilação — aí a velocidade do jovem é momentaneamente zero. Vou adotar essa hipótese (velocidade nula nesse instante). Sem essa hipótese não seria possível determinar a energia cinética apenas com os dados fornecidos.

Passo 3

Definimos a energia mecânica total como a soma da energia cinética, da energia potencial gravitacional e da energia potencial elástica:
E_{\text{mec}} = K + U_{\text{grav}} + U_{\text{el}}.
Explicando cada termo:
  • K é a energia cinética, K=\tfrac{1}{2} m v^2, onde v é a velocidade.
  • U_{\text{grav}} é a energia potencial gravitacional, U_{\text{grav}} = m g h, onde g é a aceleração da gravidade e h é a altura relativa ao referencial escolhido (aqui o solo).
  • U_{\text{el}} é a energia potencial da mola (corda elástica), U_{\text{el}} = \tfrac{1}{2} k x^2, onde x é a deformação (extensão) da mola em relação ao seu comprimento natural.

Passo 4

Aplicamos a hipótese do Passo 2: velocidade nula no instante, portanto
K = 0.
Isso simplifica a expressão para
E_{\text{mec}} = U_{\text{grav}} + U_{\text{el}}.

Passo 5

Calculamos a energia potencial gravitacional. Usamos g = 9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, m = 100\\ \mathrm{kg} e h = 40\\ \mathrm{m}. A fórmula é
U_{\text{grav}} = m g h.
Substituindo:
U_{\text{grav}} = 100 \times 9{,}8 \times 40.
Fazendo as contas passo a passo:
9{,}8 \times 40 = 392,
100 \times 392 = 39\,200.
Logo
U_{\text{grav}} = 39\,200\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Calculamos a energia potencial elástica. O enunciado diz que a corda, quando totalmente esticada, tem comprimento 10\\ \mathrm{m}. Interpretamos isso como a deformação (extensão) na situação dada sendo x = 10\\ \mathrm{m} (tomando o comprimento natural de referência de modo que a deformação indicada seja 10\\ \mathrm{m}). A fórmula é
U_{\text{el}} = \tfrac{1}{2} k x^2.
Com k = 500\\ \mathrm{N/m} e x = 10\\ \mathrm{m}:
U_{\text{el}} = \tfrac{1}{2}\times 500 \times 10^2.
Calculando:
10^2 = 100,
500 \times 100 = 50\,000,
\tfrac{1}{2}\times 50\,000 = 25\,000.
Portanto
U_{\text{el}} = 25\,000\\ \mathrm{J}.

Passo 7

Somamos as contribuições para obter a energia mecânica total:
E_{\text{mec}} = U_{\text{grav}} + U_{\text{el}} = 39\,200 + 25\,000 = 64\,200\\ \mathrm{J}.
Interpretando: esse valor é a energia disponível naquele instante — como assumimos velocidade zero, toda a energia está armazenada como potenciais (gravitacional + elástica).

Resposta

E_{\text{mec}} = 64\,200\\ \mathrm{J}

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