EX1: A corda elástica de um bungee jumping equivale a uma mola de constante elástica 400 \mathrm{~N} / \mathrm{m}. Um jovem de massa 80 kg , em determinado momento de sua queda, está a 20 m de altura em relação ao solo, com velocidade de 4 \mathrm{~m} / \mathrm{s}, e a corda está alongada em 2 m . Qual é a energía mecânica nesse instante?

Passo 1

Enunciado: Uma corda elástica do bungee pode ser modelada como uma mola de constante elástica k. Num certo instante o jovem tem massa m, está a uma altura h do solo, com velocidade v e a corda está alongada de x. A pergunta é: qual é a energia mecânica nesse instante?
Dados fornecidos:
k=400\\ \mathrm{N/m},\quad m=80\\ \mathrm{kg},\quad h=20\\ \mathrm{m},\quad v=4\\ \mathrm{m/s},\quad x=2\\ \mathrm{m}.
Observação: o enunciado deu a altura em relação ao solo, então vou tomar o potencial gravitacional zero no solo (referência conveniente).

Passo 2

O que é energia mecânica e quais termos devo somar? A energia mecânica total E de um sistema com movimento e mola é a soma de três contribuições principais:
E = K + U_g + U_s.
Aqui:
  • K é a energia cinética, dada por \displaystyle K=\tfrac{1}{2} m v^{2}. Explicação: energia associada ao movimento; m é a massa (kg) e v a velocidade (m/s). A unidade resulta em joules \mathrm{(J)}.
  • U_g é a energia potencial gravitacional relativa à referência escolhida, dada por \displaystyle U_g = m g h. Explicação: energia devido à posição vertical; g é a aceleração da gravidade (vou usar g=9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}), h é a altura (m).
  • U_s é a energia potencial elástica armazenada na mola (corda), dada por \displaystyle U_s = \tfrac{1}{2} k x^{2}. Explicação: energia armazenada pela deformação x (m) de uma mola com constante k (N/m).
Vamos calcular cada termo com os números do enunciado.

Passo 3

Calcular a energia potencial gravitacional \displaystyle U_g = m g h. Substituindo:
U_g = 80\\ \mathrm{kg}\cdot 9,8\\ \mathrm{m/s^{2}}\cdot 20\\ \mathrm{m}.
Faço primeiro 9,8\cdot 20 = 196. Depois 80\cdot 196 = 15\,680. Portanto
U_g = 15\,680\\ \mathrm{J}.

Passo 4

Calcular a energia cinética \displaystyle K=\tfrac{1}{2} m v^{2}. Substituindo:
K = \tfrac{1}{2}\cdot 80\\ \mathrm{kg}\cdot (4\\ \mathrm{m/s})^{2}.
Calculo (4)^{2}=16. Então \tfrac{1}{2}\cdot 80 = 40 e 40\cdot 16 = 640. Portanto
K = 640\\ \mathrm{J}.

Passo 5

Calcular a energia potencial elástica \displaystyle U_s=\tfrac{1}{2}k x^{2}. Substituindo:
U_s = \tfrac{1}{2}\cdot 400\\ \mathrm{N/m}\cdot (2\\ \mathrm{m})^{2}.
Calculo (2)^{2}=4. Então \tfrac{1}{2}\cdot 400 = 200 e 200\cdot 4 = 800. Portanto
U_s = 800\\ \mathrm{J}.

Passo 6

Somar todas as contribuições para obter a energia mecânica total:
E = U_g + K + U_s = 15\,680\\ \mathrm{J} + 640\\ \mathrm{J} + 800\\ \mathrm{J}.
Somando: 15\,680 + 640 = 16\,320; 16\,320 + 800 = 17\,120. Logo
E = 17\,120\\ \mathrm{J}.
Você conseguiu! A ideia-chave para questões assim é sempre separar em energia cinética, potencial gravitacional (escolhendo referência) e potencial elástica, e somar. Fazendo isso passo a passo, sem pânico.

Resposta

\;17\,120\\ \mathrm{J}

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