Q1. Uma corda enrola-se pela borda de um disco uniforme que pode girar, sem atrito, em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro. A massa M do disco é de 3 kg , seu raio R é de 25 cm e seu momento de inércia em torno deste eixo é 0,5 \mathrm{MR}^{2}. A corda é puxada por uma força de F=10 \mathrm{~N}. Se o disco estiver inicialmente em repouso, calcule sua velocidade angular, seu momento angular e a potencia da força apos 5 \mathrm{~s} . \mathbf{R} : \omega=133 \mathrm{rad} / \mathrm{s}, L=12,5 \mathrm{kgm}^{2} / \mathrm{s}, P=332,5 \mathrm{~W}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
  • Dados fornecidos:
    • massa do disco: M=3\\ \text{kg}.
    • raio do disco: R=25\\ \text{cm}=0,25\\ \text{m}.
    • momento de inércia em torno do eixo central: I=0{,}5\,M R^{2} (já dado em forma simbólica).
    • força tangencial aplicada à corda: F=10\\ \text{N}.
    • o disco parte do repouso e a força é aplicada continuamente durante t=5\\ \text{s}.
  • O que é pedido:
    1. velocidade angular do disco após 5\\ \text{s}: \omega(5\\ \text{s}).
    2. momento angular (angular momentum) após 5\\ \text{s}: L.
    3. potência fornecida pela força após 5\\ \text{s}: P.

Passo 2

Calcular o momento de inércia numérico I usando a expressão dada I=0{,}5\,M R^{2}.
Explicação curta (o que é I): o momento de inércia mede a “inércia rotacional” do corpo; quanto maior I, mais difícil é acelerar o corpo em rotação.
Cálculo:
I = 0{,}5 \cdot M \cdot R^{2}
Substituindo os valores:
I = 0{,}5 \cdot 3 \cdot (0,25)^{2}.
Calcule passo a passo:
(0,25)^{2} = 0{,}0625,
3 \cdot 0{,}0625 = 0{,}1875,
0{,}5 \cdot 0{,}1875 = 0{,}09375\\ \text{kg m}^{2}.
Portanto
I = 0{,}09375\\ \text{kg m}^{2}.

Passo 3

Calcular o torque (momento da força) produzido pela força que puxa a corda.
Explicação curta (o que é torque \tau): torque é a tendência de uma força em produzir rotação; para uma força tangencial aplicada na borda de raio R vale \tau = F R.
Cálculo:
\tau = F \, R = 10 \cdot 0{,}25 = 2{,}5\\ \text{N m}.

Passo 4

Relacionar torque com aceleração angular: lei de Newton para rotações.
Explicação didática: A análoga rotacional da segunda lei de Newton diz que o torque resultante sobre um corpo rígido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
\tau = I \,\alpha,
onde
  • \tau é o torque total (em N m),
  • I é o momento de inércia (em kg m ^2),
  • \alpha é a aceleração angular (em rad/s ^2).
Da expressão acima isolamos \alpha:
\alpha = \frac{\tau}{I}.
Substituindo os valores que já calculamos:
\alpha = \frac{2{,}5}{0{,}09375}.
Fazendo a divisão:
\alpha = \frac{2{,}5}{0{,}09375} = 26{,}666\ldots\\ \text{rad/s}^{2} = \frac{80}{3}\\ \text{rad/s}^{2}.

Passo 5

Calcular a velocidade angular \omega após t=5\\ \text{s}, sabendo que o disco parte do repouso e a aceleração angular é constante.
Explicação (relação tempo-velocidade em rotação): se a aceleração angular \alpha for constante e a velocidade angular inicial \omega_{0}=0, então
\omega(t) = \omega_{0} + \alpha t = \alpha t.
Substituindo:
\omega(5) = \alpha \cdot 5 = \frac{80}{3} \cdot 5 = \frac{400}{3}\\ \text{rad/s}.
Avaliando numericamente:
\omega(5) = 133{,}333\ldots\\ \text{rad/s}.

Passo 6

Calcular o momento angular (angular momentum) L após 5\\ \text{s}.
Explicação (o que é L): para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo, o momento angular é L = I \omega, análogo ao momento linear p=mv na tradução.
Cálculo:
L = I \omega = 0{,}09375 \cdot \frac{400}{3}.
Fazendo a conta:
0{,}09375 \cdot 400 = 37{,}5,
L = \frac{37{,}5}{3} = 12{,}5\\ \text{kg m}^{2}\!/\text{s}.

Passo 7

Calcular a potência P fornecida pela força após 5\\ \text{s}.
Explicação (duas formas equivalentes): potência instantânea da força que age tangencialmente na borda pode ser escrita como
P = \tau \,\omega
ou também como
P = F \, v_{\text{tang}} = F \cdot (R \omega).
As duas expressões são equivalentes porque \tau = F R.
Usando \tau \omega:
P = \tau \omega = 2{,}5 \cdot \frac{400}{3} = \frac{1000}{3}\\ \text{W}.
Avaliando numericamente:
P = 333{,}333\ldots\\ \text{W}.

Passo 8

Resumo numérico e verificação rápida das unidades:
  • \omega(5)=\dfrac{400}{3}\\ \text{rad/s}\approx 133{,}33\\ \text{rad/s}.
  • L=12{,}5\\ \text{kg m}^{2}\!/\text{s}.
  • P=\dfrac{1000}{3}\\ \text{W}\approx 333{,}33\\ \text{W}.
Unidades fazem sentido: \omega em rad/s, L em kg m ^2/s e P em watts (J/s).

Resposta

\omega = \dfrac{400}{3}\\ \text{rad/s} \approx 133{,}33\\ \text{rad/s}
L = 12{,}5\\ \text{kg m}^{2}\!/\text{s}
P = \dfrac{1000}{3}\\ \text{W} \approx 333{,}33\\ \text{W}

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