Q1. Uma corda enrola-se pela borda de um disco uniforme que pode girar, sem atrito, em torno de um eixo fixo que passa pelo seu centro. A massa
do disco é de 3 kg , seu raio
é de 25 cm e seu momento de inércia em torno deste eixo é
. A corda é puxada por uma força de
. Se o disco estiver inicialmente em repouso, calcule sua velocidade angular, seu momento angular e a potencia da força apos
:
,
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda):
- Dados fornecidos:
- massa do disco:
. - raio do disco:
. - momento de inércia em torno do eixo central:
(já dado em forma simbólica). - força tangencial aplicada à corda:
. - o disco parte do repouso e a força é aplicada continuamente durante
.
- massa do disco:
- O que é pedido:
- velocidade angular do disco após
: . - momento angular (angular momentum) após
: . - potência fornecida pela força após
: .
- velocidade angular do disco após
Passo 2
Calcular o momento de inércia numérico
usando a expressão dada
.
Explicação curta (o que é
): o momento de inércia mede a “inércia rotacional” do corpo; quanto maior
, mais difícil é acelerar o corpo em rotação.
Cálculo:
Substituindo os valores:
Calcule passo a passo:
Portanto
Passo 3
Calcular o torque (momento da força) produzido pela força que puxa a corda.
Explicação curta (o que é torque
): torque é a tendência de uma força em produzir rotação; para uma força tangencial aplicada na borda de raio
vale
.
Cálculo:
Passo 4
Relacionar torque com aceleração angular: lei de Newton para rotações.
Explicação didática: A análoga rotacional da segunda lei de Newton diz que o torque resultante sobre um corpo rígido é igual ao momento de inércia vezes a aceleração angular:
onde
-
é o torque total (em N m), -
é o momento de inércia (em kg m ), -
é a aceleração angular (em rad/s ).
Da expressão acima isolamos
:
Substituindo os valores que já calculamos:
Fazendo a divisão:
Passo 5
Calcular a velocidade angular
após
, sabendo que o disco parte do repouso e a aceleração angular é constante.
Explicação (relação tempo-velocidade em rotação): se a aceleração angular
for constante e a velocidade angular inicial
, então
Substituindo:
Avaliando numericamente:
Passo 6
Calcular o momento angular (angular momentum)
após
.
Explicação (o que é
): para um corpo rígido em rotação em torno de um eixo fixo, o momento angular é
, análogo ao momento linear
na tradução.
Cálculo:
Fazendo a conta:
Passo 7
Calcular a potência
fornecida pela força após
.
Explicação (duas formas equivalentes): potência instantânea da força que age tangencialmente na borda pode ser escrita como
ou também como
As duas expressões são equivalentes porque
.
Usando
:
Avaliando numericamente:
Passo 8
Resumo numérico e verificação rápida das unidades:
-
. -
. -
.
Unidades fazem sentido:
em rad/s,
em kg m
/s e
em watts (J/s).