Questão 1 (1 ponto cada) (Colocar somente resposta)
Passo 1
O enunciado nos dá duas informações sobre a função
e pede um integral, e depois define
e pede sua derivada. Mais precisamente:
- Dados:
e . - Pergunta 1: calcular
. - Dado:
. - Pergunta 2: calcular
.
Passo 2
Para a primeira parte usamos a propriedade de aditividade das integrais definidas: para qualquer função integrável e quaisquer
vale
Aqui aplicamos com
,
,
. Assim
Rearranjando para isolar o que pedem,
Substituindo os valores fornecidos,
Intuição rápida: a integral de
até
é a soma das “áreas” de
a
e de
a
; então a de
a
é a diferença entre a total e a de
a
.
Passo 3
Para a segunda parte vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para limite superior variável) e a regra da cadeia. Lembrete prático:
- Se
então, para como variável, . Isto é o Teorema Fundamental do Cálculo (explica: derivar a integral em relação ao limite superior devolve o integrando avaliado no limite). - Se compomos
com uma função , então pela regra da cadeia
Aqui a ideia é: deriva-se em relação ao limite superior e multiplica-se pelo derivado desse limite em relação a
.
Passo 4
Aplique ao nosso
. Defina
. Então
. Pelo item anterior,
Agora calculamos cada peça:
-
e (válido para ). -
.
Substituindo,
Observação sobre domínio: essa expressão está escrita para
(para
o fator
não é finito).