Questão 1 (1 ponto cada) (Colocar somente resposta)
\begin{gathered} \int_{1}^{7} f(t) d t=1 \quad, \int_{3}^{7} f(t) d t=4 \Rightarrow \int_{1}^{3} f(t) d t= \\\ G(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} \cos \left(t^{4}\right) d t \Rightarrow G^{\prime}(x)= \end{gathered}

Passo 1

O enunciado nos dá duas informações sobre a função f e pede um integral, e depois define G e pede sua derivada. Mais precisamente:
  • Dados: \displaystyle \int_{1}^{7} f(t)\,dt = 1 e \displaystyle \int_{3}^{7} f(t)\,dt = 4.
  • Pergunta 1: calcular \displaystyle \int_{1}^{3} f(t)\,dt.
  • Dado: G(x)=\displaystyle \int_{0}^{\sqrt{x}} \cos\!\bigl(t^{4}\bigr)\,dt.
  • Pergunta 2: calcular G'(x).

Passo 2

Para a primeira parte usamos a propriedade de aditividade das integrais definidas: para qualquer função integrável e quaisquer a<b<c vale
\int_{a}^{c} f(t)\,dt=\int_{a}^{b} f(t)\,dt+\int_{b}^{c} f(t)\,dt.
Aqui aplicamos com a=1, b=3, c=7. Assim
\int_{1}^{7} f(t)\,dt=\int_{1}^{3} f(t)\,dt+\int_{3}^{7} f(t)\,dt.
Rearranjando para isolar o que pedem,
\int_{1}^{3} f(t)\,dt=\int_{1}^{7} f(t)\,dt-\int_{3}^{7} f(t)\,dt.
Substituindo os valores fornecidos,
\int_{1}^{3} f(t)\,dt = 1-4 = -3.
Intuição rápida: a integral de 1 até 7 é a soma das “áreas” de 1 a 3 e de 3 a 7; então a de 1 a 3 é a diferença entre a total e a de 3 a 7.

Passo 3

Para a segunda parte vamos usar o Teorema Fundamental do Cálculo (versão para limite superior variável) e a regra da cadeia. Lembrete prático:
  • Se \displaystyle H(u)=\int_{a}^{u} h(t)\,dt então, para u como variável, H'(u)=h(u). Isto é o Teorema Fundamental do Cálculo (explica: derivar a integral em relação ao limite superior devolve o integrando avaliado no limite).
  • Se compomos u com uma função u(x), então pela regra da cadeia
\frac{d}{dx}\! \int_{a}^{u(x)} h(t)\,dt = h\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui a ideia é: deriva-se em relação ao limite superior e multiplica-se pelo derivado desse limite em relação a x.

Passo 4

Aplique ao nosso G. Defina u(x)=\sqrt{x}. Então G(x)=\displaystyle \int_{0}^{u(x)} \cos\!\bigl(t^{4}\bigr)\,dt. Pelo item anterior,
G'(x)=\cos\!\bigl(u(x)^{4}\bigr)\cdot u'(x).
Agora calculamos cada peça:
  • u(x)=\sqrt{x} e u'(x)=\dfrac{d}{dx}\sqrt{x}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (válido para x>0).
  • u(x)^{4}=(\sqrt{x})^{4}=x^{2}.
Substituindo,
G'(x)=\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}.
Observação sobre domínio: essa expressão está escrita para x>0 (para x=0 o fator 1/(2\sqrt{x}) não é finito).

Resposta

\displaystyle \int_{1}^{3} f(t)\,dt = -3
\displaystyle G'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}\cos\!\bigl(x^{2}\bigr)

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