Q5. Calcule o momento de inércia de um cilindro circular de massa M e raio R em relação ao eixo do cilindro. \mathbf{R}: I=0,5 M R^{2}.

Passo 1

O que o problema pede e o que foi dado\n
  • Pede-se o momento de inércia de um cilindro circular maciço (sólido) de massa M e raio R em relação ao eixo do cilindro (eixo que passa pelo centro e é paralelo ao eixo de simetria do cilindro).\n
  • Informação disponível: massa M e raio R. A altura do cilindro (digamos h) não foi dada, mas será usada como símbolo e deve desaparecer no resultado final porque I depende apenas de M e R para este problema.

Passo 2

O que é momento de inércia e a ideia do método\n
  • Definição física e matemática: o momento de inércia mede a resistência de um corpo à variação de rotação em torno de um eixo. Para uma distribuição contínua de massa usa-se a integral
I=\int r^{2}\,dm,
onde r é a distância de cada elemento de massa dm ao eixo de rotação.\n
  • Ideia prática para este cilindro: decompor o cilindro em “casquinhas cilíndricas” coaxiais (cada uma com raio r, espessura radial dr e altura h). Cada casquinha pode ser tratada como uma massa concentrada a distância r do eixo, então sua contribuição elementar para o momento de inércia é dI=r^{2}\,dm. Vamos integrar essas contribuições de r=0 até r=R.

Passo 3

Expressar o elemento de massa dm em termos de r e de densidade\n
  • Volume total do cilindro: V=\pi R^{2} h.
  • Densidade volumétrica (massa por unidade de volume): \rho=\frac{M}{V}=\frac{M}{\pi R^{2} h}.
  • Volume da casquinha cilíndrica de raio r, espessura dr e altura h: dV = (\text{área lateral})\cdot h = (2\pi r\,dr)\,h.á
  • Portanto o elemento de massa da casquinha é
dm=\rho\,dV=\rho\,(2\pi r h\,dr).

Passo 4

Escrever o elemento do momento de inércia e montar a integral\n
  • Cada casquinha contribui com
dI = r^{2}\,dm = r^{2}\big(\rho\,2\pi r h\,dr\big).
  • Simplificando o integrando:
dI = 2\pi \rho h\, r^{3}\,dr.
  • Agora integramos sobre todos os raios do cilindro, de r=0 até r=R:
I = \int_{0}^{R} 2\pi \rho h\, r^{3}\,dr.

Passo 5

Calcular a integral\n
  • A constante 2\pi \rho h sai da integral:
I = 2\pi \rho h \int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
  • Calcule a primitiva:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr = \left[\frac{r^{4}}{4}\right]_{0}^{R} = \frac{R^{4}}{4}.
  • Substituindo:
I = 2\pi \rho h \cdot \frac{R^{4}}{4} = \frac{\pi \rho h R^{4}}{2}.

Passo 6

Substituir a densidade \rho e simplificar para obter I em termos de M e R\n
  • Lembrando que \rho=\dfrac{M}{\pi R^{2} h}, substitui-se na expressão anterior:
I = \frac{\pi \big(\dfrac{M}{\pi R^{2} h}\big) h R^{4}}{2}.
  • Simplificando fatores: o \pi do numerador e do denominador se cancelam, o h também se cancela, e sobra R^{4}/R^{2}=R^{2}. Portanto
I = \frac{M R^{2}}{2}.

Passo 7

Checagem rápida de dimensões e interpretação\n
  • Dimensionalmente, M tem unidades de massa e R^{2} de comprimento ao quadrado, então I tem unidades de massa·comprimento ^2 (por exemplo \mathrm{kg\cdot m^{2}}), que é correto para momento de inércia.\n
  • Interpretação: para um cilindro sólido e uniforme, metade da massa efetivamente contribui (em média) como se estivesse a distância R do eixo; matematicamente isso aparece no fator 1/2.

Resposta

I=\tfrac{1}{2}M R^{2}

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