Q5. Calcule o momento de inércia de um cilindro circular de massa
e raio
em relação ao eixo do cilindro.
.
Passo 1
O que o problema pede e o que foi dado\n
- Pede-se o momento de inércia de um cilindro circular maciço (sólido) de massa
e raio em relação ao eixo do cilindro (eixo que passa pelo centro e é paralelo ao eixo de simetria do cilindro).\n - Informação disponível: massa
e raio . A altura do cilindro (digamos ) não foi dada, mas será usada como símbolo e deve desaparecer no resultado final porque depende apenas de e para este problema.
Passo 2
O que é momento de inércia e a ideia do método\n
- Definição física e matemática: o momento de inércia mede a resistência de um corpo à variação de rotação em torno de um eixo. Para uma distribuição contínua de massa usa-se a integral
onde
é a distância de cada elemento de massa
ao eixo de rotação.\n
- Ideia prática para este cilindro: decompor o cilindro em “casquinhas cilíndricas” coaxiais (cada uma com raio
, espessura radial e altura ). Cada casquinha pode ser tratada como uma massa concentrada a distância do eixo, então sua contribuição elementar para o momento de inércia é . Vamos integrar essas contribuições de até .
Passo 3
Expressar o elemento de massa
em termos de
e de densidade\n
- Volume total do cilindro:
- Densidade volumétrica (massa por unidade de volume):
- Volume da casquinha cilíndrica de raio
, espessura e altura : - Portanto o elemento de massa da casquinha é
Passo 4
Escrever o elemento do momento de inércia e montar a integral\n
- Cada casquinha contribui com
- Simplificando o integrando:
- Agora integramos sobre todos os raios do cilindro, de
até :
Passo 5
Calcular a integral\n
- A constante
sai da integral:
- Calcule a primitiva:
- Substituindo:
Passo 6
Substituir a densidade
e simplificar para obter
em termos de
e
\n
- Lembrando que
, substitui-se na expressão anterior:
- Simplificando fatores: o
do numerador e do denominador se cancelam, o também se cancela, e sobra . Portanto
Passo 7
Checagem rápida de dimensões e interpretação\n
- Dimensionalmente,
tem unidades de massa e de comprimento ao quadrado, então tem unidades de massa·comprimento (por exemplo ), que é correto para momento de inércia.\n - Interpretação: para um cilindro sólido e uniforme, metade da massa efetivamente contribui (em média) como se estivesse a distância
do eixo; matematicamente isso aparece no fator .