Calcule os limites.
lim z i z^3-27z-3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
lim z i z^3-27z-3
Aqui estamos lidando com limites de funções complexas, que é um conceito da matéria de Cálculo Complexo. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar expressões envolvendo números complexos e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, percebemos que se substituirmos diretamente $ z = i $ na expressão, teremos:
z = i
Para simplificar, vamos calcular $ i^{3} $. Sabemos que $ i $ é a unidade imaginária, onde $ i^{2} = -1 $. Então:
i^3 - 27i - 3
Substituindo na expressão:
i^3

Passo 3

Agora, temos uma expressão complexa no numerador e no denominador. Para simplificar, podemos multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador para eliminar o número imaginário no denominador. O conjugado de $ i - 3 $ é $ -i - 3 $.
Multiplicando:
i - 3

Passo 4

Vamos calcular o numerador e o denominador separadamente.
Numerador:
(-i - 27)(-i - 3) = (-i)(-i) + (-i)(-3) + (-27)(-i) + (-27)(-3)
= i^2 + 3i + 27i + 81
= (-1) + 30i + 81
= 80 + 30i
Denominador:
(i - 3)(-i - 3) = (i)(-i) + (i)(-3) + (-3)(-i) + (-3)(-3)
= -i^2 - 3i + 3i + 9
= -(-1) + 0 + 9
= 1 + 9
= 10

Passo 5

Agora, substituímos os resultados do numerador e denominador na fração:
80 + 30i10
Dividindo cada termo por 10:
8 + 3i

Resposta

lim z i z^3-27z-3 = 8 + 3i

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