(2,5) Uma corda esticada tem tamanho de 1,5 \mathrm{~m} e massa de 25 g . A corda esta sob uma tensão de 20 N .
a) (0,5) Encontre a velocidade de propagação da onda nesta corda.
b) (1,0) Para as duas extremidades fixas: calcule as frequências e faça um desenho dos dois primeiros modos normais da corda vibrando.
c) (1,0) Para uma extremidade fixa e a outra livre: calcule as frequências e faça um desenho dos dois primeiros modos normais da corda vibrando.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede três coisas claras:
Dados:
  • comprimento da corda: L=1{,}5\\ \mathrm{m},
  • massa total da corda: m=25\\ \mathrm{g}=0{,}025\\ \mathrm{kg},
  • tensão na corda: T=20\\ \mathrm{N}.
Perguntas:
a) Encontre a velocidade de propagação da onda na corda.
b) Para as duas extremidades fixas: calcule as frequências dos dois primeiros modos normais e faça um desenho (descrição) dos dois primeiros modos.
c) Para uma extremidade fixa e a outra livre: calcule as frequências dos dois primeiros modos normais e faça um desenho (descrição) dos dois primeiros modos.
Agora que sabemos o que foi pedido e quais dados temos, vamos resolver passo a passo.

Passo 2

Calcular a densidade linear de massa \mu da corda (massa por unidade de comprimento). Isso é necessário porque a velocidade de onda numa corda tensa depende de \mu.
Definição e explicação:
  • \mu representa a massa por unidade de comprimento da corda. Se você tem uma massa m distribuída uniformemente ao longo de comprimento L, então
\mu=\frac{m}{L}.
Aqui m está em quilogramas e L em metros, então \mu terá unidades \mathrm{kg/m}.
Cálculo com os dados:
\mu=\frac{0{,}025}{1{,}5}=\frac{25\cdot 10^{-3}}{1{,}5}=\frac{1}{60}\\ \mathrm{kg/m}\approx 0{,}016666\ldots\\ \mathrm{kg/m}.

Passo 3

Encontrar a velocidade de propagação v das ondas transversais na corda.
Fórmula e explicação:
  • A velocidade de uma onda transversal em uma corda sob tensão é dada por
v=\sqrt{\frac{T}{\mu}},
onde T é a tensão (em newtons) e \mu é a densidade linear de massa (em \mathrm{kg/m}). Intuição: mais tensão puxa a corda e aumenta a velocidade; mais massa por comprimento diminui a velocidade.
Aplicando ao problema:
Já temos \mu=\dfrac{1}{60}\\ \mathrm{kg/m} e T=20\\ \mathrm{N}. Então
v=\sqrt{\frac{20}{1/60}}=\sqrt{20\cdot 60}=\sqrt{1200}.
Notamos que 1200=400\cdot 3, logo
v=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.
Valor numérico aproximado:
v\approx 34{,}64\\ \mathrm{m/s}.

Passo 4

Modos normais para as duas extremidades fixas (caso b): teoria e dedução das frequências.
Condições de contorno e consequências:
  • Para uma corda com ambas as extremidades fixas em x=0 e x=L, a condição é y(0,t)=0 e y(L,t)=0 para todo t. Isso exige que as formas espaciais das ondas estacionárias tenham nós nessas posições.
  • As formas estacionárias que satisfazem essas condições são senos com número inteiro de meias-ondas ao longo do comprimento.
Fórmulas:
  • Os comprimentos de onda permitidos são
\lambda_n=\frac{2L}{n},\qquad n=1,2,3,\ldots
Explicação: em L cabe exatamente n/2 comprimentos de onda, ou seja, L=n\frac{\lambda}{2} \lambda=2L/n.
  • As frequências correspondentes são (usando v=\lambda f)
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{n v}{2L},\qquad n=1,2,\ldots
  • A forma espacial (modo n) é
y_n(x,t)=A_n\sin\!\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos(\omega_n t),
com \omega_n=2\pi f_n. Aqui A_n é a amplitude do modo.
Cálculo numérico para L=1{,}5\\ \mathrm{m} e v=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}:
  • Para n=1 (fundamental),
f_1=\frac{v}{2L}=\frac{20\sqrt{3}}{2\cdot 1{,}5}=\frac{20\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{Hz}\approx 11{,}55\\ \mathrm{Hz}.
  • Para n=2,
f_2=\frac{2v}{2L}=\frac{v}{L}=2f_1\approx 23{,}09\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação das formas (desenho/descrição):
  • Modo n=1: uma meia-seno entre os dois extremos. Nós em x=0 e x=L; um antinódo (máxima amplitude) no centro x=L/2.
    Desenho aproximado (esquemático, corda horizontal de 0 a L):
    \n
    0 L/2 L
    |----^----|
    onde ^ representa o ponto de maior deslocamento (antínodo). Em ASCII simples:
    \n
    x=0 x=L/2 x=L
    |-----------/-----------|
    (nó) (antínodo) (nó)
    \n
  • Modo n=2: duas meias-senos, ou seja, dois antinódos e um nó interno além dos nós nas extremidades. Nós em x=0, x=L/2, x=L.
    Esquematicamente:
    \n
    x=0 x=L/4 x=L/2 x=3L/4 x=L
    |–/--|–/--|
    (nó) (antin.) (nó) (antin.) (nó)

Passo 5

Modos normais para uma extremidade fixa e a outra livre (caso c): teoria e cálculo.
Condições de contorno e consequências:
  • Suponha a extremidade em x=0 fixa: y(0,t)=0.
  • A extremidade em x=L é livre, o que implica que a força transversal (e portanto a derivada espacial do deslocamento) é zero ali: \left.\dfrac{\partial y}{\partial x}\right|_{x=L}=0. Em termos de formas estacionárias, isso impõe um antinódo (máxima amplitude) no extremo livre.
  • Essas condições levam a soluções com comprimentos de onda que correspondem a frações ímpares de quarto de onda ao longo do comprimento.
Fórmulas:
  • Os modos permitidos têm
k_n L=\frac{(2n-1)\pi}{2},\qquad n=1,2,3,\ldots
onde k_n=\dfrac{2\pi}{\lambda_n} é o número de onda. Daí
\lambda_n=\frac{4L}{2n-1}.
  • As frequências são
f_n=\frac{v}{\lambda_n}=\frac{(2n-1)v}{4L},\qquad n=1,2,\ldots
  • A forma espacial pode ser escrita como
y_n(x,t)=A_n\sin\!\left(\frac{(2n-1)\pi x}{2L}\right)\cos(\omega_n t),
essa função satisfaz y(0,t)=0 e \partial y/\partial x|_{x=L}=0.
Cálculo numérico usando v=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s} e L=1{,}5\\ \mathrm{m}:
  • Para n=1 (fundamental do caso fixo-livre),
f_1=\frac{v}{4L}=\frac{20\sqrt{3}}{4\cdot 1{,}5}=\frac{20\sqrt{3}}{6}\\ \mathrm{Hz}\approx 5{,}77\\ \mathrm{Hz}.
  • Para n=2,
f_2=\frac{3v}{4L}=3f_1\approx 17{,}32\\ \mathrm{Hz}.
Interpretação das formas (desenho/descrição):
  • Modo n=1: é um quarto de seno: nó em x=0, antinódo em x=L. Esquematicamente:
    \n
    x=0 x=L
    |—_/—|
    (nó) (antínodo)
    \n
  • Modo n=2: corresponde a 3/4 de uma onda senoidal; há um nó interno e um antinódo no extremo livre. Esquematicamente:
    \n
    x=0 x=L/3 x=2L/3 x=L
    |–/--|–_/–|
    (nó) (antin.) (nó) (antínodo)

Passo 6

Resumo e verificação rápida:
  • Verificamos consistência: no caso fixo-fixo as frequências são múltiplos inteiros do fundamental f_1. No caso fixo-livre aparecem apenas harmônicos ímpares do fundamental f_1 daquele caso (ou seja, razões 1:3:5:\dots). Os valores numéricos foram calculados com v=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.

Resposta

a) v=20\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}\approx 34{,}64\\ \mathrm{m/s}.
b) Extremidades fixas: f_1=\dfrac{v}{2L}=\dfrac{20\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{Hz}\approx 11{,}55\\ \mathrm{Hz}; f_2=\dfrac{2v}{2L}=\dfrac{2\cdot 20\sqrt{3}}{3}\\ \mathrm{Hz}\approx 23{,}09\\ \mathrm{Hz}.
c) Uma extremidade fixa e outra livre: f_1=\dfrac{v}{4L}=\dfrac{20\sqrt{3}}{6}\\ \mathrm{Hz}\approx 5{,}77\\ \mathrm{Hz}; f_2=\dfrac{3v}{4L}\\ \mathrm{Hz}\approx 17{,}32\\ \mathrm{Hz}.

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