(2,5) Em uma usina, o álcool escoa de forma estacionaria em uma tubulação com vazão igual a 30 litros por segundo. No ponto 1 o diâmetro da tubulação é igual a 10 cm . Em um segundo ponto (ponto 2), cinco metros abaixo do ponto anterior, a tubulação tem área duas vazes maior. Densidade do álcool é \mathbf{8 0 0 ~ k g / \mathbf { m } ^ { \mathbf { 3 } }}.
a) (0,5) Qual é a velocidade no primeiro, \mathbf{v}_{1}, e no segundo ponto, \mathbf{v}_{2} ?
b) (1,0) Qual é à diferença de pressão entre o ponto um e o ponto dois.
c) (1,0) Se ofluxo for interrompido e a túbulação permanecer cheia de álcool, qual é a nova diferença de pressão entre o ponto um e o ponto dois?

Passo 1

O enunciado dá uma vazão estacionária e pede velocidades e diferenças de pressão entre dois pontos da mesma tubulação. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
  • Vazão volumétrica: Q=30\\ \text{L/s}.
  • Diâmetro no ponto 1: d_1=10\\ \text{cm}.
  • A área no ponto 2 é o dobro da do ponto 1: A_2=2A_1.
  • A distância vertical entre os pontos: o ponto 2 está 5\\ \text{m} abaixo do ponto 1 (ou seja, z_2=z_1-5\\ \text{m}).
  • Densidade do álcool: \rho=800\\ \mathrm{kg/m^3}.
    Perguntas:
    a) Calcular \,v_1 e \,v_2.
    b) Calcular a diferença de pressão entre o ponto 1 e o ponto 2. (Vou definir e calcular p_1-p_2.)
    c) Se o fluxo for interrompido e a tubulação ficar cheia e parada, qual será a nova diferença de pressão entre os pontos 1 e 2?

Passo 2

Conversões e fórmulas básicas que vamos usar (explico cada uma):
  • Converter vazão para unidades SI: 1\\ \text{L}=10^{-3}\\ \text{m}^3, portanto
Q=30\\ \text{L/s}=30\times10^{-3}\\ \mathrm{m^3/s}=0,03\\ \mathrm{m^3/s}.
  • Área de um círculo (tubo): para diâmetro d,
A=\frac{\pi d^2}{4}.
No ponto 1 com d_1=10\\ \text{cm}=0,10\\ \mathrm{m} teremos
A_1=\frac{\pi d_1^2}{4}=\frac{\pi(0,10)^2}{4}.
Calculo numérico:
d_1^2=(0,10)^2=0,01,
A_1=\pi\cdot\frac{0,01}{4}=\pi\cdot0,0025\approx0,00785398\\ \mathrm{m^2}.
Vou guardar A_1\approx0,00785398\\ \mathrm{m^2}. Como A_2=2A_1, temos
A_2\approx2\cdot0,00785398\approx0,01570796\\ \mathrm{m^2}.

Passo 3

Velocidades usando a equação de continuidade (explicação): para escoamento incompressível e estacionário, a vazão volumétrica Q é a mesma em qualquer seção e vale
Q=A\,v,
onde A é a área da seção e v é a velocidade média nessa seção. Assim
v=\frac{Q}{A}.
Aplicando no ponto 1:
v_1=\frac{Q}{A_1}=\frac{0,03}{0,00785398}\\ \mathrm{m/s}.
Fazendo a divisão:
v_1\approx3,8197\\ \mathrm{m/s}\approx3,82\\ \mathrm{m/s}.
No ponto 2:
v_2=\frac{Q}{A_2}=\frac{0,03}{0,01570796}\\ \mathrm{m/s},
v_2\approx1,9099\\ \mathrm{m/s}\approx1,91\\ \mathrm{m/s}.
Observação útil: como A_2=2A_1, de fato v_2=v_1/2, o que confere com os números.

Passo 4

Agora vamos à diferença de pressão com o escoamento em movimento (explico o princípio físico): para um fluido incompressível, sem atrito e em regime estacionário, a equação de Bernoulli ao longo de uma mesma linha de corrente é
p+\tfrac{1}{2}\rho v^2+\rho g z=\text{constante},
onde p é a pressão estática, \rho a densidade, v a velocidade média na seção e z a cota (altura). Subtraindo a equação aplicada no ponto 2 da aplicada no ponto 1 obtemos
p_1+\tfrac{1}{2}\rho v_1^2+\rho g z_1 = p_2+\tfrac{1}{2}\rho v_2^2+\rho g z_2.
Rearranjando para p_1-p_2,
p_1-p_2=\tfrac{1}{2}\rho\,(v_2^2-v_1^2)+\rho g\,(z_2-z_1).
Explico cada termo:
  • \tfrac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2) é a diferença de “energia cinética por volume” (term. dinâmico).
  • \rho g(z_2-z_1) é a diferença de energia potencial por volume (term. gravitacional / hidrostático).
    Aqui z_2-z_1=-5\\ \mathrm{m} (ponto 2 abaixo do ponto 1). Usarei g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 5

Cálculo dos termos numéricos (mostrando as contas):
Já temos v_1\approx3,8197\\ \mathrm{m/s} e v_2\approx1,9099\\ \mathrm{m/s}. Calculo das velocidades ao quadrado:
v_1^2\approx(3,8197)^2\approx14,588,
v_2^2\approx(1,9099)^2\approx3,647.
Diferença:
v_2^2-v_1^2\approx3,647-14,588\approx-10,941\\ (\mathrm{m^2/s^2}).
Termo cinético:
\tfrac{1}{2}\rho(v_2^2-v_1^2)=\tfrac{1}{2}\cdot800\cdot(-10,941)\\ \mathrm{Pa} =400\cdot(-10,941)\\ \mathrm{Pa}\approx-4\,376,4\\ \mathrm{Pa}.
Termo gravitacional (hidrostático):
\rho g (z_2-z_1)=800\cdot9,8\cdot(-5)\\ \mathrm{Pa}=800\cdot(-49)\\ \mathrm{Pa}=-39\,200\\ \mathrm{Pa}.
Somando os dois termos para obter p_1-p_2:
p_1-p_2\approx-4\,376,4+(-39\,200)=-43\,576,4\\ \mathrm{Pa}.
Interpretando o sinal: p_1-p_2<0, ou seja p_2>p_1. Em módulo, p_2 é maior que p_1 por aproximadamente 43\,6\times10^3\\ \mathrm{Pa}. A maior parte dessa diferença vem do termo hidrostático (-39\,200\\ \mathrm{Pa}); o termo dinâmico acrescenta cerca de -4\,376\\ \mathrm{Pa}.

Passo 6

Caso estático (fluxo interrompido e tubo cheio): explicação e cálculo.
Quando o fluido está em repouso, não há termo cinético; a diferença de pressão entre dois pontos verticalmente separados é dada pela lei da hidrostática:
p_1-p_2=\rho g (z_2-z_1).
Substituindo \rho=800\\ \mathrm{kg/m^3}, g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}, z_2-z_1=-5\\ \mathrm{m}:
p_1-p_2=800\cdot9,8\cdot(-5)=-39\,200\\ \mathrm{Pa}.
Ou seja, com o fluido parado o ponto 2 (mais baixo) tem pressão maior que o ponto 1 em 39\,200\\ \mathrm{Pa}. Comparando com o caso em movimento, a diferença diminui quando o escoamento é parado porque desaparece o termo dinâmico adicional.

Resposta

v_1=3,82\\ \mathrm{m/s},\quad v_2=1,91\\ \mathrm{m/s}
p_1-p_2=-4,36\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}
p_1-p_2=-3,92\times10^{4}\\ \mathrm{Pa}

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