Em uma usina, o álcool escoa de forma estacionaria em uma tubulação com vazão igual a 30 litros por segundo. No ponto 1 o diâmetro da tubulação é igual a 10 cm . Em um segundo ponto (ponto 2), cinco metros abaixo do ponto anterior, a tubulação tem área duas vazes maior. Densidade do álcool é
.
a)
Qual é a velocidade no primeiro,
, e no segundo ponto,
?
b)
Qual é à diferença de pressão entre o ponto um e o ponto dois.
c)
Se ofluxo for interrompido e a túbulação permanecer cheia de álcool, qual é a nova diferença de pressão entre o ponto um e o ponto dois?
a)
b)
c)
Passo 1
O enunciado dá uma vazão estacionária e pede velocidades e diferenças de pressão entre dois pontos da mesma tubulação. Dados fornecidos (vou listar tudo claramente):
- Vazão volumétrica:
. - Diâmetro no ponto 1:
. - A área no ponto 2 é o dobro da do ponto 1:
. - A distância vertical entre os pontos: o ponto 2 está
abaixo do ponto 1 (ou seja, ). - Densidade do álcool:
.
Perguntas:
a) Calculare .
b) Calcular a diferença de pressão entre o ponto 1 e o ponto 2. (Vou definir e calcular.)
c) Se o fluxo for interrompido e a tubulação ficar cheia e parada, qual será a nova diferença de pressão entre os pontos 1 e 2?
Passo 2
Conversões e fórmulas básicas que vamos usar (explico cada uma):
- Converter vazão para unidades SI:
, portanto
- Área de um círculo (tubo): para diâmetro
,
No ponto 1 com
teremos
Calculo numérico:
Vou guardar
. Como
, temos
Passo 3
Velocidades usando a equação de continuidade (explicação): para escoamento incompressível e estacionário, a vazão volumétrica
é a mesma em qualquer seção e vale
onde
é a área da seção e
é a velocidade média nessa seção. Assim
Aplicando no ponto 1:
Fazendo a divisão:
No ponto 2:
Observação útil: como
, de fato
, o que confere com os números.
Passo 4
Agora vamos à diferença de pressão com o escoamento em movimento (explico o princípio físico): para um fluido incompressível, sem atrito e em regime estacionário, a equação de Bernoulli ao longo de uma mesma linha de corrente é
onde
é a pressão estática,
a densidade,
a velocidade média na seção e
a cota (altura). Subtraindo a equação aplicada no ponto 2 da aplicada no ponto 1 obtemos
Rearranjando para
,
Explico cada termo:
-
é a diferença de “energia cinética por volume” (term. dinâmico). -
é a diferença de energia potencial por volume (term. gravitacional / hidrostático).
Aqui(ponto 2 abaixo do ponto 1). Usarei .
Passo 5
Cálculo dos termos numéricos (mostrando as contas):
Já temos e
. Calculo das velocidades ao quadrado:
Já temos
Diferença:
Termo cinético:
Termo gravitacional (hidrostático):
Somando os dois termos para obter
:
Interpretando o sinal:
, ou seja
. Em módulo,
é maior que
por aproximadamente
. A maior parte dessa diferença vem do termo hidrostático
; o termo dinâmico acrescenta cerca de
.
Passo 6
Caso estático (fluxo interrompido e tubo cheio): explicação e cálculo.
Quando o fluido está em repouso, não há termo cinético; a diferença de pressão entre dois pontos verticalmente separados é dada pela lei da hidrostática:
Quando o fluido está em repouso, não há termo cinético; a diferença de pressão entre dois pontos verticalmente separados é dada pela lei da hidrostática:
Substituindo
,
,
:
Ou seja, com o fluido parado o ponto 2 (mais baixo) tem pressão maior que o ponto 1 em
. Comparando com o caso em movimento, a diferença diminui quando o escoamento é parado porque desaparece o termo dinâmico adicional.