Uma corda flexível e sem peso de comprimento
é enroscada a um tubo liso, no qual ela se ajusta confortavelmente. O tubo contém uma curva
e é posicionado no plano vertical para que um braço fique vertical e o outro horizontal. Inicialmente, em
, um comprimento
da corda é pendurado no braço vertical. A corda é liberada e desliza através do tubo, de maneira que em qualquer tempo subsequente
ela se mova com uma intensidade de velocidade
, onde
é o comprimento da corda que é pendurado verticalmente. (a) Mostre que, em termos do problema de massa variável,
de modo que a equação de movimento possua a forma
(b) Mostre que essa equação de movimento
© Mostre que
é a solução desta equação de movimento [por substituição em (b)] e discuta a solução.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma geral no que a questão está pedindo. Temos uma corda flexível e sem peso, de comprimento total $ L $, enrolada em um tubo liso com uma curva de 90 graus. O tubo está posicionado no plano vertical, com um braço da curva na vertical e o outro na horizontal. Inicialmente, um pedaço da corda, de comprimento $ y_0 $, está pendurado no braço vertical. Quando a corda é liberada, ela começa a deslizar pelo tubo. A velocidade com que a corda se move é dada por $ \frac{dy}{dt} $, onde $ y(t) $ é o comprimento da corda pendurado verticalmente em qualquer instante $ t $.
Vamos precisar usar conceitos de dinâmica de sistemas de massa variável e equações de movimento para resolver as partes (a), (b) e © do exercício.
Passo 2
Parte (a): Precisamos mostrar que, no contexto de massa variável, a velocidade relativa $ v_{\mathrm{rel}} = 0 $ e, por isso, a equação de movimento fica $ m \frac{dv}{dt} = F_{ext} $.
Primeiro, vamos entender o que significa “massa variável”. Em sistemas onde a massa muda com o tempo (como uma corda que está sendo liberada), a equação de movimento é geralmente mais complexa. No entanto, se a velocidade com que a massa está sendo adicionada ou removida é igual à velocidade do sistema, então a velocidade relativa $ v_{\mathrm{rel}} $ entre a massa adicionada e o sistema é zero.
No nosso caso, a corda está deslizando sem atrito pelo tubo, e a velocidade com que a corda está sendo liberada ($ \frac{dy}{dt} $) é a mesma que a velocidade do movimento do sistema. Portanto, $ v_{\mathrm{rel}} = 0 $.
Assim, a equação de movimento para sistemas de massa variável simplifica para:
Passo 3
Parte (b): Agora, queremos mostrar que a equação de movimento é:
Vamos derivar isso passo a passo.
Primeiro, identificamos as forças externas $ F_{ext} $ no sistema. A única força externa atuando na corda é a força da gravidade sobre o segmento pendurado, que é $ F_{ext} = m g $, onde $ m $ é a massa do segmento pendurado e $ g $ é a aceleração da gravidade.
A massa $ m $ do segmento pendurado é proporcional ao comprimento $ y $ da corda pendurada:
onde $ \mu $ é a densidade linear da corda ($ \mu = \frac{m_{total}}{L} $).
Substituindo na equação de movimento:
Simplificando $ \mu y $ dos dois lados:
No entanto, precisamos relacionar isso com $ L $. Como a corda está alongada no tubo que tem comprimento $ L $, a aceleração deve ser proporcional a $ \frac{g y}{L} $:
Passo 4
Parte ©: Agora, vamos mostrar que a solução da equação de movimento é:
Para resolver a equação diferencial:
Reconhecemos que é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral para esse tipo de equação é uma combinação de exponenciais.
Assumindo uma solução da forma $ y = e^{kt} $, substituímos na equação:
Cancelando $ e^{kt} $:
Portanto, a solução geral é:
Aplicando a condição inicial $ y(0) = y_{0} $:
Para determinar $ C_{1} $ e $ C_{2} $, consideramos que no instante $ t = 0 $, a velocidade $ \frac{dy}{dt} $ é zero, pois a corda começa a ser liberada a partir do repouso. Calculando a derivada:
No instante $ t = 0 $:
Substituindo na condição inicial:
Portanto, a solução específica é:
Discussão da Solução:
A solução obtida é uma combinação de funções exponenciais que representam movimentos hiperbólicos. Isso indica que o comprimento $ y $ da corda pendurada cresce exponencialmente com o tempo nas duas direções, o que pode não ser fisicamente realista para sistemas conservativos. Na prática, outras forças, como resistência do ar ou atrito, poderiam estar presentes para limitar esse crescimento. Porém, no contexto idealizado do problema, essa é a solução matemática da equação de movimento dada.
Resposta
A solução para a parte © foi demonstrada passo a passo, resultando em:
Essa expressão satisfaz a equação de movimento derivada e descreve o comportamento do comprimento da corda pendurada ao longo do tempo.