Uma corda homogênea de massa M e comprimento L está na vertical, sua extremidade inferior está presa a um bloco de massa m e sua extremidade superior está sendo puxada para cima sob a ação de uma força desconhecida. (a) Faça os diagramas de corpo livre para a corda e para o bloco. (b) Calcule essa força sabendo que a aceleração do sistema está apontada para cima e tem magnitude a. © Calcule a tração na corda no seu ponto médio e na sua extremidade inferior. As quantidades conhecidas são M, m, L e a (além de g, obviamente).

Passo 1

Beleza, então o que o exercício pede é o seguinte: temos uma corda “gordinha” (com massa M e comprimento L) pendurada na vertical, presa lá embaixo a um bloco de massa m. Na parte de cima da corda tem uma força misteriosa puxando pra cima.
Conteúdo: Dinâmica (2ª Lei de Newton), diagramas de corpo livre (DCL) e tensão numa corda com massa (tensão varia ao longo da corda).
O que vamos usar:
  • Montar DCL do bloco e da corda inteira;
  • Aplicar sum F = m,a em cada um;
  • Entender que a tensão na corda varia conforme “quantos quilos” ela está sustentando abaixo daquele ponto.

Passo 2

Diagramas de Corpo Livre (DCL)
  1. Bloco (massa m):
    • Para cima: tensão na corda em sua extremidade inferior, Trm inf.
    • Para baixo: peso m,g.
    • Aceleração para cima de módulo a.
  2. Corda inteira (massa M):
    • Para cima: força externa F (que a gente quer achar).
    • Para baixo: peso total da corda M,g e a força que o bloco faz puxando para baixo, que é exatamente Trm inf.
    • Aceleração para cima de módulo a.

Passo 3

Equações de Newton
  1. No bloco: sum Fy: Trm inf - m,g = m,a Longrightarrow Trm inf = m,(a + g)
  2. Na corda toda: sum Fy: F ;-; M,g ;-; Trm inf = M,a
    Substituindo Trm inf:
    $$F - M,g - m,(a+g) = M,a\quad\Longrightarrow\quad
    F = M,a + M,g + m,(a+g)= (M + m),(,a + g,).$$

Passo 4

Tensão no ponto médio da corda
– Pensamento: a tensão em certa seção só precisa “levantar” tudo que está abaixo dela (parte da corda + bloco).
Massa abaixo do ponto médio = bloco m + metade da corda M/2.
Aplicando sum F = mrm abaixo,a nesse “pedaço”:
Trm mid - l(m + tfrac M2r)g = l(m + tfrac M2r)a Longrightarrow Trm mid = l(m + tfrac M2r),(a + g)

Resposta

Força que puxa no topo:
F = (M + m),(a + g)
Tensão na extremidade inferior (no bloco):
Trm inf = m,(a + g)
Tensão no ponto médio da corda:
Trm mid = l(m + tfrac M2r),(a + g)

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